રેન્ડમ ચલનો Sco. સરેરાશ રેખીય વિચલન

જ્યારે પૂર્વધારણાઓનું આંકડાકીય પરીક્ષણ, જ્યારે રેન્ડમ ચલો વચ્ચેના રેખીય સંબંધને માપવામાં આવે છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન:

પ્રમાણભૂત વિચલન(રેન્ડમ વેરિયેબલ ફ્લોર, આપણી આસપાસની દિવાલો અને છતના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ, xતેના તફાવતના નિષ્પક્ષ અંદાજના આધારે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાને સંબંધિત):

જ્યાં - તફાવત; - ફ્લોર, આપણી આસપાસની દિવાલો અને છત, i-મું નમૂના તત્વ; - નમૂનાનું કદ; - નમૂનાનો અંકગણિત સરેરાશ:

એ નોંધવું જોઇએ કે બંને અંદાજો પક્ષપાતી છે. સામાન્ય કિસ્સામાં, નિષ્પક્ષ અંદાજ બાંધવો અશક્ય છે. જો કે, નિષ્પક્ષ તફાવતના અંદાજ પર આધારિત અંદાજ સુસંગત છે.

ત્રણ સિગ્મા નિયમ

ત્રણ સિગ્મા નિયમ() - સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલના લગભગ તમામ મૂલ્યો અંતરાલમાં આવેલા છે. વધુ કડક રીતે - 99.7% કરતાં ઓછી નિશ્ચિતતા સાથે, સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય નિર્દિષ્ટ અંતરાલમાં રહેલું છે (જો કે મૂલ્ય સાચું હોય, અને નમૂના પ્રક્રિયાના પરિણામે પ્રાપ્ત ન થાય).

જો સાચું મૂલ્ય અજાણ્યું હોય, તો તમારે તેનો ઉપયોગ ન કરવો જોઈએ, પરંતુ ફ્લોર, આપણી આસપાસની દિવાલો અને છત, s. આમ, ત્રણ સિગ્માનો નિયમ ત્રણ માળ, આપણી આસપાસની દિવાલો અને છતના નિયમમાં અનુવાદિત થાય છે, s .

પ્રમાણભૂત વિચલનના મૂલ્યનું અર્થઘટન

પ્રમાણભૂત વિચલનનું મોટું મૂલ્ય સેટના સરેરાશ મૂલ્ય સાથે પ્રસ્તુત સમૂહમાં મૂલ્યોનો મોટો ફેલાવો દર્શાવે છે; એક નાનું મૂલ્ય, અનુક્રમે, સૂચવે છે કે સમૂહમાં મૂલ્યો સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ જૂથબદ્ધ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અમારી પાસે ત્રણ નંબર સેટ છે: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) અને (6, 6, 8, 8). ત્રણેય સેટમાં અનુક્રમે 7ના સરેરાશ મૂલ્યો અને 7, 5 અને 1ના પ્રમાણભૂત વિચલનો છે. છેલ્લા સેટમાં એક નાનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે કારણ કે સમૂહમાંના મૂલ્યો સરેરાશની આસપાસ ક્લસ્ટર થયેલ છે; પ્રથમ સેટમાં પ્રમાણભૂત વિચલનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે - સેટની અંદરના મૂલ્યો સરેરાશ મૂલ્યથી મજબૂત રીતે અલગ પડે છે.

સામાન્ય અર્થમાં, પ્રમાણભૂત વિચલનને અનિશ્ચિતતાનું માપ ગણી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ અમુક જથ્થાના ક્રમિક માપની શ્રેણીની ભૂલ નક્કી કરવા માટે થાય છે. સિદ્ધાંત દ્વારા અનુમાનિત મૂલ્યની તુલનામાં અભ્યાસ હેઠળની ઘટનાની વાજબીતા નક્કી કરવા માટે આ મૂલ્ય ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે: જો માપનનું સરેરાશ મૂલ્ય સિદ્ધાંત (મોટા પ્રમાણભૂત વિચલન) દ્વારા અનુમાનિત મૂલ્યોથી ખૂબ જ અલગ હોય, તો પ્રાપ્ત મૂલ્યો અથવા તેમને મેળવવાની પદ્ધતિ ફરીથી તપાસવી જોઈએ.

વ્યવહારુ ઉપયોગ

વ્યવહારમાં, પ્રમાણભૂત વિચલન તમને નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે કે સેટમાંના મૂલ્યો સરેરાશ મૂલ્યથી કેટલા અલગ હોઈ શકે છે.

વાતાવરણ

ધારો કે સમાન સરેરાશ દૈનિક મહત્તમ તાપમાન ધરાવતા બે શહેરો છે, પરંતુ એક દરિયાકિનારે આવેલું છે અને બીજું અંતરિયાળ છે. દરિયાકાંઠાના શહેરો અંતરિયાળ શહેરો કરતા ઘણા જુદા જુદા દૈનિક મહત્તમ તાપમાન માટે જાણીતા છે. તેથી, દરિયાકાંઠાના શહેરમાં મહત્તમ દૈનિક તાપમાનનું પ્રમાણભૂત વિચલન બીજા શહેર કરતાં ઓછું હશે, તે હકીકત હોવા છતાં કે તેમની પાસે આ મૂલ્યનું સમાન સરેરાશ મૂલ્ય છે, જેનો વ્યવહારમાં અર્થ એ થાય છે કે મહત્તમ હવાના તાપમાનની સંભાવના વર્ષનો દરેક ચોક્કસ દિવસ સરેરાશ મૂલ્ય કરતાં વધુ મજબૂત હશે, ખંડની અંદર સ્થિત શહેર માટે વધુ.

રમતગમત

ચાલો માની લઈએ કે કેટલીક ફૂટબોલ ટીમો છે જે અમુક પરિમાણોના સેટ અનુસાર ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગોલ કર્યા અને સ્વીકારવામાં આવેલા ગોલની સંખ્યા, સ્કોર કરવાની તકો વગેરે. આ જૂથની શ્રેષ્ઠ ટીમ શ્રેષ્ઠ મૂલ્યો ધરાવે છે તેવી સંભાવના છે. વધુ પરિમાણોમાં. પ્રસ્તુત કરેલ દરેક પરિમાણો માટે ટીમનું પ્રમાણભૂત વિચલન જેટલું નાનું છે, ટીમનું પરિણામ વધુ અનુમાનિત છે, આવી ટીમો સંતુલિત છે. બીજી તરફ, મોટા પ્રમાણભૂત વિચલન ધરાવતી ટીમને પરિણામની આગાહી કરવામાં મુશ્કેલ સમય હોય છે, જે બદલામાં અસંતુલન દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, મજબૂત સંરક્ષણ પરંતુ નબળા હુમલા.

ટીમના પરિમાણોના પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કોઈને અમુક અંશે બે ટીમો વચ્ચેની મેચના પરિણામની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે, ટીમોની શક્તિ અને નબળાઈઓનું મૂલ્યાંકન કરે છે, અને તેથી સંઘર્ષની પસંદ કરેલી પદ્ધતિઓ.

ટેકનિકલ વિશ્લેષણ

આ પણ જુઓ

સાહિત્ય

આ લેખ કાઢી નાખવાની દરખાસ્ત છે. કારણોની સમજૂતી અને અનુરૂપ ચર્ચા પૃષ્ઠ પર મળી શકે છે વિકિપીડિયા:કાઢી નાખવાની/ડિસેમ્બર 17, 2012. જ્યાં સુધી ચર્ચા પ્રક્રિયા પૂર્ણ ન થાય ત્યાં સુધી, લેખને સુધારી શકાય છે, પરંતુ તમારે સામગ્રીનું નામ બદલવા અથવા કાઢી નાખવાનું ટાળવું જોઈએ, વધુ વિગતો માટે આગળની કાર્યવાહી માટે માર્ગદર્શિકા જુઓ. ચર્ચાના અંત સુધી કાઢી નાખવા માટેના ધ્વજને દૂર કરશો નહીં. સંચાલકો: અહીં લિંક્સ, ઇતિહાસ (છેલ્લે સંશોધિત), લોગ, કાઢી નાખો.

* બોરોવિકોવ, વી.આંકડા. કમ્પ્યુટર ડેટા વિશ્લેષણની કળા: વ્યાવસાયિકો માટે / વી. બોરોવિકોવ. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ. : પીટર, 2003. - 688 પૃ. - ISBN 5-272-00078-1.

આંકડાકીય સૂચકાંકો
વર્ણનાત્મક આંકડા	સતત ડેટા શીયર ફેક્ટર સરેરાશ (અંકગણિત , ભૌમિતિક , હાર્મોનિક) મધ્ય મોડ શ્રેણી ભિન્નતા ક્રમ · પ્રમાણભૂત વિચલનવેરિએશન ક્વોન્ટાઈલનો ગુણાંક (ડેસીલ, પર્સેન્ટાઈલ/પરસેન્ટાઈલ/સેન્ટાઈલ) પળો ગાણિતિક અપેક્ષા ડિસ્પર્ઝન સ્ક્યુનેસ કુર્ટોસિસ અલગ ડેટા આવર્તન આકસ્મિક ટેબલ
આંકડાકીય ઉપાડ અને પરીક્ષા પૂર્વધારણાઓ	આંકડાકીય નિષ્કર્ષ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ (આવર્તન સંભાવના) આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ (બેયેસિયન અનુમાન) આંકડાકીય મહત્વ મેટા-વિશ્લેષણ આયોજન પ્રયોગ વસ્તી · નમૂના ડિઝાઇન · પ્રાદેશિક નમૂના · પ્રતિકૃતિ · જૂથીકરણ · સંવેદનશીલતા અને વિશિષ્ટતા નમૂનાનું કદ આંકડાકીય શક્તિ અસરનું માપ પ્રમાણભૂત ભૂલ કુલ આંક ઉકેલનું બાયસિયન મૂલ્યાંકન ·

આ લેખમાં, હું તેના વિશે વાત કરીશ પ્રમાણભૂત વિચલન કેવી રીતે શોધવું. ગણિતની સંપૂર્ણ સમજણ માટે આ સામગ્રી અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે, તેથી ગણિતના શિક્ષકે તેનો અભ્યાસ કરવા માટે એક અલગ પાઠ અથવા તો ઘણા બધા સમર્પિત કરવા જોઈએ. આ લેખમાં, તમને વિગતવાર અને સમજી શકાય તેવા વિડિયો ટ્યુટોરિયલની લિંક મળશે જે સમજાવે છે કે પ્રમાણભૂત વિચલન શું છે અને તેને કેવી રીતે શોધવું.

પ્રમાણભૂત વિચલનચોક્કસ પરિમાણને માપવાના પરિણામે પ્રાપ્ત મૂલ્યોના પ્રસારનો અંદાજ કાઢવો શક્ય બનાવે છે. તે પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (ગ્રીક અક્ષર "સિગ્મા").

ગણતરી માટેનું સૂત્ર એકદમ સરળ છે. પ્રમાણભૂત વિચલન શોધવા માટે, તમારે વિચલનનું વર્ગમૂળ લેવાની જરૂર છે. તો હવે તમારે પૂછવું પડશે, "વિવિધતા શું છે?"

વિક્ષેપ શું છે

વિભિન્નતાની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે. વિક્ષેપ એ સરેરાશમાંથી મૂલ્યોના વર્ગીય વિચલનોનો અંકગણિત સરેરાશ છે.

તફાવત શોધવા માટે, નીચેની ગણતરીઓ ક્રમિક રીતે કરો:

• સરેરાશ (મૂલ્યોની શ્રેણીનો સરળ અંકગણિત સરેરાશ) નક્કી કરો.
• પછી દરેક મૂલ્યોમાંથી સરેરાશ બાદબાકી કરો અને પરિણામી તફાવતનો વર્ગ કરો (અમને મળ્યું તફાવત વર્ગ).
• આગળનું પગલું એ મેળવેલ તફાવતોના ચોરસના અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવાનું છે (તમે શોધી શકો છો કે ચોરસ બરાબર શા માટે નીચે છે).

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો કહીએ કે તમે અને તમારા મિત્રો તમારા કૂતરાઓની ઊંચાઈ (મિલિમીટરમાં) માપવાનું નક્કી કરો છો. માપના પરિણામ સ્વરૂપે, તમને નીચેની ઊંચાઈના માપન પ્રાપ્ત થયા છે (સુકાવાની જગ્યાએ): 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm અને 300 mm.

ચાલો સરેરાશ, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરીએ.

ચાલો પહેલા સરેરાશ શોધીએ. જેમ તમે પહેલાથી જ જાણો છો, આ માટે તમારે બધા માપેલા મૂલ્યો ઉમેરવાની અને માપની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. ગણતરી પ્રગતિ:

સરેરાશ મીમી.

તેથી, સરેરાશ (અંકગણિત સરેરાશ) 394 મીમી છે.

હવે આપણે વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે સરેરાશથી દરેક શ્વાનની ઊંચાઈનું વિચલન:

છેવટે, તફાવતની ગણતરી કરવા માટે, મેળવેલ દરેક તફાવતનો વર્ગ કરવામાં આવે છે, અને પછી આપણે મેળવેલા પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ શોધીએ છીએ:

વિક્ષેપ mm 2 .

આમ, વિક્ષેપ 21704 mm 2 છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન કેવી રીતે શોધવું

તો હવે વિચલન જાણીને, પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? જેમ આપણે યાદ કરીએ છીએ, તેનું વર્ગમૂળ લો. એટલે કે, પ્રમાણભૂત વિચલન છે:

mm (mm માં નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા સુધી ગોળાકાર).

આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે જોયું કે કેટલાક કૂતરા (દા.ત. રોટવીલર્સ) ખૂબ મોટા કૂતરા છે. પરંતુ ત્યાં ખૂબ નાના કૂતરા પણ છે (ઉદાહરણ તરીકે, ડાચશન્ડ્સ, પરંતુ તમારે તેમને આ કહેવું જોઈએ નહીં).

સૌથી રસપ્રદ બાબત એ છે કે પ્રમાણભૂત વિચલન ઉપયોગી માહિતી વહન કરે છે. હવે આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે જો આપણે સરેરાશ (તેની બંને બાજુએ) પ્રમાણભૂત વિચલનને અલગ રાખીએ તો તે અંતરાલની અંદર માપવાના વૃદ્ધિના પ્રાપ્ત પરિણામોમાંથી કયા છે.

એટલે કે, પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને, અમને એક "માનક" પદ્ધતિ મળે છે જે તમને તે શોધવાની મંજૂરી આપે છે કે કયા મૂલ્યો સામાન્ય છે (આંકડાકીય સરેરાશ), અને જે અસાધારણ રીતે મોટું છે અથવા, તેનાથી વિપરીત, નાનું છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન શું છે

પરંતુ ... જો આપણે વિશ્લેષણ કરીશું તો વસ્તુઓ થોડી અલગ હશે નમૂનાડેટા અમારા ઉદાહરણમાં, અમે ધ્યાનમાં લીધું સામાન્ય વસ્તી.એટલે કે, અમારા 5 કૂતરા વિશ્વના એકમાત્ર કૂતરા હતા જે અમને રસ ધરાવતા હતા.

પરંતુ જો ડેટા નમૂના છે (મોટી વસ્તીમાંથી પસંદ કરેલ મૂલ્યો), તો ગણતરીઓ અલગ રીતે કરવાની જરૂર છે.

જો ત્યાં મૂલ્યો છે, તો પછી:

અન્ય તમામ ગણતરીઓ એ જ રીતે કરવામાં આવે છે, જેમાં સરેરાશના નિર્ધારણનો સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણા પાંચ શ્વાન કૂતરાઓની વસ્તી (પૃથ્વી પરના તમામ કૂતરા) નો માત્ર એક નમૂનો છે, તો આપણે વિભાજિત કરવું જોઈએ 5 ને બદલે 4એટલે કે:

નમૂના ભિન્નતા = મીમી 2

આ કિસ્સામાં, નમૂના માટે પ્રમાણભૂત વિચલન બરાબર છે mm (નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા સુધી ગોળાકાર).

અમે કહી શકીએ છીએ કે જ્યારે અમારા મૂલ્યો માત્ર એક નાનો નમૂનો છે ત્યારે અમે કેટલાક "સુધારણા" કર્યા છે.

નૉૅધ. તફાવતોના ચોરસ બરાબર શા માટે?

પરંતુ ભિન્નતાની ગણતરી કરતી વખતે આપણે તફાવતોના વર્ગો શા માટે લઈએ છીએ? ચાલો અમુક પરિમાણના માપન પર સ્વીકારીએ, તમને નીચેના મૂલ્યોનો સમૂહ પ્રાપ્ત થયો છે: 4; 4; -4; -4. જો આપણે ફક્ત એકબીજા વચ્ચેના સરેરાશ (તફાવત) માંથી સંપૂર્ણ વિચલનો ઉમેરીએ તો ... નકારાત્મક મૂલ્યો હકારાત્મક સાથે રદ થાય છે:

.

તે તારણ આપે છે કે આ વિકલ્પ નકામું છે. પછી કદાચ વિચલનોના સંપૂર્ણ મૂલ્યો (એટલે ​​​​કે, આ મૂલ્યોના મોડ્યુલો) અજમાવવા યોગ્ય છે?

પ્રથમ નજરમાં, તે ખરાબ નથી (પરિણામી મૂલ્ય, માર્ગ દ્વારા, સરેરાશ સંપૂર્ણ વિચલન કહેવાય છે), પરંતુ તમામ કિસ્સાઓમાં નહીં. ચાલો બીજું ઉદાહરણ અજમાવીએ. માપનનું પરિણામ નીચેના મૂલ્યોના સમૂહમાં આવવા દો: 7; 1; -6; -2. પછી સરેરાશ સંપૂર્ણ વિચલન છે:

વાહ! અમને ફરીથી પરિણામ 4 મળ્યું, જો કે તફાવતોનો ફેલાવો ઘણો મોટો છે.

હવે ચાલો જોઈએ કે જો આપણે તફાવતોને વર્ગીકૃત કરીએ તો શું થાય છે (અને પછી તેમના સરવાળાનું વર્ગમૂળ લઈએ).

પ્રથમ ઉદાહરણ માટે, તમે મેળવો છો:

.

બીજા ઉદાહરણ માટે, તમે મેળવો છો:

હવે તે સંપૂર્ણપણે અલગ બાબત છે! રુટ-મીન-સ્ક્વેર વિચલન જેટલું વધારે છે, તેટલો મોટો તફાવત છે... જેના માટે આપણે પ્રયત્નશીલ હતા.

હકીકતમાં, આ પદ્ધતિ પોઈન્ટ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરતી વખતે સમાન વિચારનો ઉપયોગ કરે છે, ફક્ત અલગ રીતે લાગુ પડે છે.

અને ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, ચોરસ અને વર્ગમૂળનો ઉપયોગ વિચલનોના સંપૂર્ણ મૂલ્યોના આધારે આપણે મેળવી શકીએ તેના કરતાં વધુ ઉપયોગી છે, જેના કારણે પ્રમાણભૂત વિચલન અન્ય ગાણિતિક સમસ્યાઓને લાગુ પડે છે.

સેર્ગેઈ વેલેરીવિચે તમને કહ્યું કે પ્રમાણભૂત વિચલન કેવી રીતે શોધવું

સૂચના

ચાલો ત્યાં ઘણી સંખ્યાઓ લાક્ષણિકતા - અથવા સજાતીય માત્રામાં હોય. ઉદાહરણ તરીકે, માપ, વજન, આંકડાકીય અવલોકનો વગેરેના પરિણામો. પ્રસ્તુત તમામ જથ્થાઓ સમાન માપ દ્વારા માપવામાં આવશ્યક છે. પ્રમાણભૂત વિચલન શોધવા માટે, નીચેના કરો.

બધી સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ નક્કી કરો: બધી સંખ્યાઓ ઉમેરો અને સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા દ્વારા સરવાળો વિભાજીત કરો.

સંખ્યાઓનો ફેલાવો (સ્કેટર) નક્કી કરો: અગાઉ મળેલા વિચલનોના વર્ગો ઉમેરો અને પરિણામી સરવાળોને સંખ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો.

વોર્ડમાં 34, 35, 36, 37, 38, 39 અને 40 ડિગ્રી સેલ્સિયસ તાપમાન ધરાવતા સાત દર્દીઓ છે.

સરેરાશથી સરેરાશ વિચલન નક્કી કરવા માટે તે જરૂરી છે.
ઉકેલ:
"વોર્ડમાં": (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

સરેરાશથી તાપમાનનું વિચલન (આ કિસ્સામાં, સામાન્ય મૂલ્ય): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, તે તારણ આપે છે: -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3 (ºС);

અગાઉ મેળવેલ સંખ્યાઓના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરો. ગણતરીની ચોકસાઈ માટે, કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે. વિભાજનનું પરિણામ એ સમન્ડનો અંકગણિત સરેરાશ છે.

ગણતરીના તમામ તબક્કાઓ પર ધ્યાન આપો, કારણ કે ઓછામાં ઓછી એક ગણતરીમાં ભૂલ ખોટા અંતિમ સૂચક તરફ દોરી જશે. દરેક તબક્કે પ્રાપ્ત ગણતરીઓ તપાસો. અંકગણિત સરેરાશમાં સંખ્યાઓના સરવાળા સમાન મીટર હોય છે, એટલે કે, જો તમે સરેરાશ હાજરી નક્કી કરો છો, તો બધા સૂચકાંકો "વ્યક્તિ" હશે.

ગણતરીની આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ માત્ર ગાણિતિક અને આંકડાકીય ગણતરીઓમાં જ થાય છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં અંકગણિત સરેરાશ એક અલગ ગણતરી અલ્ગોરિધમ ધરાવે છે. અંકગણિત સરેરાશ એ ખૂબ જ શરતી સૂચક છે. તે ઘટનાની સંભાવના દર્શાવે છે, જો કે તેમાં માત્ર એક પરિબળ અથવા સૂચક હોય. સૌથી વધુ ઊંડાણપૂર્વકના વિશ્લેષણ માટે, ઘણા પરિબળો ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ. આ માટે, વધુ સામાન્ય જથ્થાની ગણતરીનો ઉપયોગ થાય છે.

અંકગણિત સરેરાશ એ કેન્દ્રીય વલણના માપદંડોમાંનું એક છે, જેનો વ્યાપકપણે ગણિત અને આંકડાકીય ગણતરીઓમાં ઉપયોગ થાય છે. કેટલાક મૂલ્યોની અંકગણિત સરેરાશ શોધવી ખૂબ જ સરળ છે, પરંતુ દરેક કાર્યની પોતાની ઘોંઘાટ હોય છે, જે સાચી ગણતરીઓ કરવા માટે માત્ર જાણવી જરૂરી છે.

આવા પ્રયોગોના જથ્થાત્મક પરિણામો.

અંકગણિતનો સરેરાશ કેવી રીતે શોધવો

સંખ્યાઓની એરે માટે અંકગણિત સરેરાશની શોધ આ મૂલ્યોના બીજગણિત સરવાળાને નક્કી કરવા સાથે શરૂ થવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો એરેમાં 23, 43, 10, 74 અને 34 નંબરો હોય, તો તેમનો બીજગણિતનો સરવાળો 184 હશે. લખતી વખતે, અંકગણિત સરેરાશ અક્ષર μ (mu) અથવા x (એક બાર સાથે x) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. . આગળ, બીજગણિતીય સરવાળો એરેમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થવો જોઈએ. આ ઉદાહરણમાં, પાંચ સંખ્યાઓ હતી, તેથી અંકગણિત સરેરાશ 184/5 હશે અને 36.8 હશે.

નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથે કામ કરવાની સુવિધાઓ

જો એરેમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓ હોય, તો સમાન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને અંકગણિત સરેરાશ જોવા મળે છે. પ્રોગ્રામિંગ વાતાવરણમાં ગણતરી કરતી વખતે અથવા કાર્યમાં વધારાની શરતો હોય તો જ તફાવત છે. આ કિસ્સાઓમાં, વિવિધ ચિહ્નો સાથે સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવાનું ત્રણ પગલાં નીચે આવે છે:

1. પ્રમાણભૂત પદ્ધતિ દ્વારા સામાન્ય અંકગણિત સરેરાશ શોધવા;
2. નકારાત્મક સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવો.
3. હકારાત્મક સંખ્યાઓના અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી.

દરેક ક્રિયાના પ્રતિભાવ અલ્પવિરામથી અલગ કરીને લખવામાં આવે છે.

કુદરતી અને દશાંશ અપૂર્ણાંક

જો સંખ્યાઓની એરે દશાંશ અપૂર્ણાંકો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તો ઉકેલ પૂર્ણાંકોના અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ અનુસાર થાય છે, પરંતુ જવાબની ચોકસાઈ માટે સમસ્યાની જરૂરિયાતો અનુસાર પરિણામ ઘટાડવામાં આવે છે.

કુદરતી અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે, તેઓને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવું જોઈએ, જે એરેમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. જવાબનો અંશ મૂળ અપૂર્ણાંક તત્વોના આપેલા અંશનો સરવાળો હશે.

સમજદાર ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને આંકડાશાસ્ત્રીઓ વધુ વિશ્વસનીય સૂચક સાથે આવ્યા હતા, જોકે થોડો અલગ હેતુ માટે - સરેરાશ રેખીય વિચલન. આ સૂચક તેમના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ સેટ કરેલા ડેટાના મૂલ્યોના ફેલાવાના માપને લાક્ષણિકતા આપે છે.

ડેટાના ફેલાવાના માપને બતાવવા માટે, તમારે પહેલા તે નક્કી કરવું આવશ્યક છે કે આ ખૂબ જ સ્પ્રેડને સંબંધિત શું ગણવામાં આવશે - સામાન્ય રીતે આ સરેરાશ મૂલ્ય છે. આગળ, તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે કે વિશ્લેષણ કરેલ ડેટા સેટના મૂલ્યો સરેરાશથી કેટલા દૂર છે. તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક મૂલ્ય વિચલનની ચોક્કસ રકમને અનુરૂપ છે, પરંતુ અમે સમગ્ર વસ્તીને આવરી લેતા સામાન્ય અંદાજમાં પણ રસ ધરાવીએ છીએ. તેથી, સરેરાશ વિચલનની ગણતરી સામાન્ય અંકગણિત સરેરાશના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. પણ! પરંતુ વિચલનોની સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે, તેમને પહેલા ઉમેરવું આવશ્યક છે. અને જો આપણે સકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ ઉમેરીએ, તો તેઓ એકબીજાને રદ કરશે અને તેમનો સરવાળો શૂન્ય થઈ જશે. આને અવગણવા માટે, બધા વિચલનો મોડ્યુલો લેવામાં આવે છે, એટલે કે, બધી નકારાત્મક સંખ્યાઓ હકારાત્મક બની જાય છે. હવે સરેરાશ વિચલન મૂલ્યોના પ્રસારનું સામાન્ય માપ બતાવશે. પરિણામે, સરેરાશ રેખીય વિચલન સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવશે:

aસરેરાશ રેખીય વિચલન છે,

x- વિશ્લેષણ કરેલ સૂચક, ટોચ પર ડેશ સાથે - સૂચકનું સરેરાશ મૂલ્ય,

nવિશ્લેષણ કરેલ ડેટાસેટમાં મૂલ્યોની સંખ્યા છે,

સમેશન ઓપરેટર, હું આશા રાખું છું કે, કોઈને ડરશે નહીં.

ઉલ્લેખિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ સરેરાશ રેખીય વિચલન આ વસ્તી માટેના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી સરેરાશ સંપૂર્ણ વિચલનને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

ચિત્રમાં લાલ રેખા એ સરેરાશ મૂલ્ય છે. સરેરાશથી દરેક અવલોકનના વિચલનો નાના તીરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તેઓ મોડ્યુલો લેવામાં આવે છે અને સારાંશ અપાય છે. પછી બધું મૂલ્યોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

ચિત્ર પૂર્ણ કરવા માટે, વધુ એક ઉદાહરણ આપવું જરૂરી છે. ચાલો કહીએ કે એક કંપની છે જે પાવડો માટે કટીંગ બનાવે છે. દરેક કટીંગ 1.5 મીટર લાંબુ હોવું જોઈએ, પરંતુ, વધુ અગત્યનું, બધું એકસરખું હોવું જોઈએ, અથવા ઓછામાં ઓછું વત્તા અથવા ઓછા 5 સે.મી. જો કે, બેદરકાર કામદારો 1.2 મીટર, પછી 1.8 મીટર કાપશે. કંપનીના ડિરેક્ટરે કટીંગ્સની લંબાઈનું આંકડાકીય વિશ્લેષણ કરવાનું નક્કી કર્યું. મેં 10 ટુકડાઓ પસંદ કર્યા અને તેમની લંબાઈ માપી, સરેરાશ શોધી અને સરેરાશ રેખીય વિચલનની ગણતરી કરી. સરેરાશ બરાબર નીકળ્યું - 1.5 મીટર. પરંતુ સરેરાશ રેખીય વિચલન 0.16 મીટર નીકળ્યું. તેથી તે તારણ આપે છે કે દરેક કટીંગ સરેરાશ 16 સે.મી. દ્વારા જરૂરી કરતાં લાંબું અથવા ટૂંકું છે. તેના વિશે વાત કરવા માટે કંઈક છે. કામદારો સાથે. હકીકતમાં, મેં આ સૂચકનો વાસ્તવિક ઉપયોગ જોયો નથી, તેથી હું મારી જાતે એક ઉદાહરણ સાથે આવ્યો છું. જો કે, આંકડાઓમાં આવા સૂચક છે.

વિક્ષેપ

સરેરાશ રેખીય વિચલનની જેમ, ભિન્નતા એ પણ દર્શાવે છે કે સરેરાશની આસપાસ ડેટા કેટલી હદે ફેલાય છે.

ભિન્નતાની ગણતરી માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે:

(વિવિધતા શ્રેણી માટે (ભારિત ભિન્નતા))

(અસંગઠિત ડેટા માટે (સરળ વિચલન))

ક્યાં: σ 2 - ફેલાવો, ક્ઝી- અમે sq સૂચક (સુવિધા મૂલ્ય), - સૂચકનું સરેરાશ મૂલ્ય, f i - વિશ્લેષણ કરેલ ડેટા સેટમાં મૂલ્યોની સંખ્યાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.

વિચલન એ વિચલનોનો સરેરાશ વર્ગ છે.

પ્રથમ, સરેરાશની ગણતરી કરવામાં આવે છે, પછી દરેક આધારરેખા અને સરેરાશ વચ્ચેનો તફાવત લેવામાં આવે છે, વર્ગ કરવામાં આવે છે, અનુરૂપ લક્ષણ મૂલ્યની આવર્તન દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ઉમેરવામાં આવે છે અને પછી વસ્તીમાં મૂલ્યોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

જો કે, તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત સરેરાશ, અથવા અનુક્રમણિકા, વિક્ષેપનો ઉપયોગ થતો નથી. તે એક સહાયક અને મધ્યવર્તી સૂચક છે જેનો ઉપયોગ અન્ય પ્રકારના આંકડાકીય વિશ્લેષણ માટે થાય છે.

ભિન્નતાની ગણતરી કરવાની સરળ રીત

પ્રમાણભૂત વિચલન

ડેટા વિશ્લેષણ માટે ભિન્નતાનો ઉપયોગ કરવા માટે, તેમાંથી એક વર્ગમૂળ લેવામાં આવે છે. તે કહેવાતા બહાર વળે છે પ્રમાણભૂત વિચલન.

માર્ગ દ્વારા, પ્રમાણભૂત વિચલનને સિગ્મા પણ કહેવામાં આવે છે - ગ્રીક અક્ષરમાંથી જે તેને સૂચવે છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન દેખીતી રીતે ડેટાના વિક્ષેપના માપને પણ દર્શાવે છે, પરંતુ હવે (વિખેરાથી વિપરીત) તેની સરખામણી મૂળ ડેટા સાથે કરી શકાય છે. એક નિયમ તરીકે, આંકડાઓમાં સરેરાશ-ચોરસ સૂચકાંકો રેખીય રાશિઓ કરતાં વધુ સચોટ પરિણામો આપે છે. તેથી, પ્રમાણભૂત વિચલન એ સરેરાશ રેખીય વિચલન કરતાં ડેટા સ્કેટરનું વધુ સચોટ માપ છે.

અનુભવમાંથી મેળવેલા મૂલ્યોમાં વિવિધ કારણોસર અનિવાર્યપણે ભૂલો હોય છે. તેમાંથી, વ્યવસ્થિત અને રેન્ડમ ભૂલોને અલગ પાડવી જોઈએ. વ્યવસ્થિત ભૂલો એવા કારણોને કારણે છે જે ખૂબ ચોક્કસ રીતે કાર્ય કરે છે, અને હંમેશા દૂર કરી શકાય છે અથવા પૂરતી ચોકસાઈ સાથે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિત ભૂલો ખૂબ મોટી સંખ્યામાં વ્યક્તિગત કારણોને કારણે થાય છે જેને ચોક્કસ રીતે ગણી શકાય નહીં અને દરેક વ્યક્તિગત માપમાં અલગ રીતે કાર્ય કરી શકાય. આ ભૂલોને સંપૂર્ણપણે નકારી શકાય નહીં; તેમને ફક્ત સરેરાશ પર જ ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, જેના માટે રેન્ડમ ભૂલો આધીન હોય તેવા કાયદાઓ જાણવું જરૂરી છે.

અમે A દ્વારા માપેલ મૂલ્ય અને માપ x માં રેન્ડમ ભૂલ દર્શાવીશું. કારણ કે ભૂલ x કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે, તે સતત રેન્ડમ ચલ છે, જે તેના પોતાના વિતરણ કાયદા દ્વારા સંપૂર્ણપણે લાક્ષણિકતા ધરાવે છે.

સૌથી સરળ અને સૌથી સચોટ રીતે પ્રતિબિંબિત વાસ્તવિકતા (મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં) કહેવાતી ભૂલોનું સામાન્ય વિતરણ:

આ વિતરણ કાયદો વિવિધ સૈદ્ધાંતિક પરિસરમાંથી મેળવી શકાય છે, ખાસ કરીને, અજ્ઞાત જથ્થાનું સૌથી સંભવિત મૂલ્ય કે જેના માટે પ્રત્યક્ષ માપન દ્વારા સમાન પ્રમાણની ચોકસાઈ સાથે મૂલ્યોની શ્રેણી મેળવવામાં આવે છે તે જરૂરી છે તેનો અંકગણિત સરેરાશ આ મૂલ્યો. મૂલ્ય 2 કહેવાય છે વિક્ષેપઆ સામાન્ય કાયદાની.

સરેરાશ

પ્રાયોગિક ડેટા અનુસાર વિક્ષેપનું નિર્ધારણ. જો કોઈપણ જથ્થા A માટે, n મૂલ્યો a i એ જ પ્રમાણની ચોકસાઈ સાથે સીધા માપન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે, અને જો જથ્થામાં A માં ભૂલો સામાન્ય વિતરણ કાયદાને આધીન હોય, તો A નું સૌથી સંભવિત મૂલ્ય હશે. સરેરાશ:

a - અંકગણિત સરેરાશ,

a i - i-મા પગલા પર માપેલ મૂલ્ય.

અવલોકન કરેલ મૂલ્યનું વિચલન (દરેક અવલોકન માટે) માંથી મૂલ્ય A ના a i અંકગણિત સરેરાશ: a i - a.

આ કિસ્સામાં ભૂલોના સામાન્ય વિતરણના વિક્ષેપને નિર્ધારિત કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

2 - વિખેરવું,
a - અંકગણિત સરેરાશ,
n એ પરિમાણ માપની સંખ્યા છે,

પ્રમાણભૂત વિચલન

પ્રમાણભૂત વિચલનમાંથી માપેલા મૂલ્યોનું સંપૂર્ણ વિચલન બતાવે છે અંકગણિત સરેરાશ. રેખીય સંયોજન ચોકસાઈ માપના સૂત્ર અનુસાર રુટ સરેરાશ ચોરસ ભૂલઅંકગણિત સરેરાશ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

, ક્યાં

a - અંકગણિત સરેરાશ,
n એ પરિમાણ માપની સંખ્યા છે,
a i - i-મા પગલા પર માપેલ મૂલ્ય.

વિવિધતાનો ગુણાંક

વિવિધતાનો ગુણાંકમાંથી માપેલા મૂલ્યોના વિચલનની સંબંધિત ડિગ્રીને લાક્ષણિકતા આપે છે અંકગણિત સરેરાશ:

, ક્યાં

V - વિવિધતાના ગુણાંક,
- પ્રમાણભૂત વિચલન,
a - અંકગણિત સરેરાશ.

મૂલ્ય જેટલું વધારે છે વિવિધતાના ગુણાંક, પ્રમાણમાં વધારે સ્કેટર અને અભ્યાસ કરેલ મૂલ્યોની ઓછી એકરૂપતા. જો વિવિધતાનો ગુણાંક 10% થી ઓછું હોય, તો ભિન્નતા શ્રેણીની પરિવર્તનક્ષમતા નજીવી માનવામાં આવે છે, 10% થી 20% સરેરાશનો સંદર્ભ આપે છે, 20% થી વધુ અને 33% કરતા ઓછો નોંધપાત્ર છે, અને જો વિવિધતાનો ગુણાંક 33% થી વધી જાય છે, આ માહિતીની વિવિધતા અને સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોને બાકાત રાખવાની જરૂરિયાત દર્શાવે છે.

સરેરાશ રેખીય વિચલન

વિવિધતાની શ્રેણી અને તીવ્રતાના સૂચકોમાંનું એક છે સરેરાશ રેખીય વિચલન(વિચલનનું સરેરાશ મોડ્યુલસ) અંકગણિત સરેરાશમાંથી. સરેરાશ રેખીય વિચલનસૂત્ર દ્વારા ગણતરી:

, ક્યાં

_
a - સરેરાશ રેખીય વિચલન,
a - અંકગણિત સરેરાશ,
n એ પરિમાણ માપની સંખ્યા છે,
a i - i-મા પગલા પર માપેલ મૂલ્ય.

સામાન્ય વિતરણના કાયદા સાથે અભ્યાસ કરેલ મૂલ્યોનું પાલન ચકાસવા માટે, સંબંધનો ઉપયોગ થાય છે અસમપ્રમાણતા સૂચકાંકતેની ભૂલ અને વલણ માટે કર્ટોસિસ સૂચકતેની ભૂલ માટે.

અસમપ્રમાણતા સૂચકાંક

અસમપ્રમાણતા સૂચકાંક(A) અને તેની ભૂલ (m a) ની ગણતરી નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

, ક્યાં

A - અસમપ્રમાણતા સૂચક,
- પ્રમાણભૂત વિચલન,
a - અંકગણિત સરેરાશ,
n એ પરિમાણ માપની સંખ્યા છે,
a i - i-મા પગલા પર માપેલ મૂલ્ય.

કુર્ટોસિસ સૂચક

કુર્ટોસિસ સૂચક(E) અને તેની ભૂલ (m e) ની ગણતરી નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

, ક્યાં