يقال إن الخط والمستوى متوازيان إذا كانا كذلك. الموقع النسبي للخط المستقيم والمستوى في الفضاء. علامات التوازي بين الخط المستقيم والمستوى في الفضاء

تدرس الهندسة الأولية مفاهيم وعلاقات الأشياء. وبدون مبرر واضح، لا يمكن التنقل في مجال التطبيق. علامة التوازي بين الخط المستقيم والمستوى هي الخطوة الأولى في هندسة الفضاء. إتقان الفئات الأولية سوف تسمح لك بالاقترابإلى عالم الدقة والمنطق والوضوح الرائع.

في تواصل مع

الارتباط بين الكائنات: الخيارات الممكنة

القياس المجسم هو أداة لفهم العالم. تدرس علاقة الأشياء ببعضها البعض وتعلم كيفية حساب المسافات بدون مسطرة. تتطلب الممارسة الناجحة إتقان المفاهيم الأساسية.

يوجد سطح a وخط l . هناك ثلاث حالات للعلاقات بين الكائنات. يتم تحديدها من خلال نقاط التقاطع. سهل التذكر:

• 0 نقطة - بالتوازي؛
• نقطة واحدة - تتقاطع بشكل متبادل؛
• عدد لا نهائي - يقع الخط المستقيم في المستوى.

من السهل وصف علامة توازي الأشياء. على السطح يوجد خط مع || ل، ثم ل || أ.

بيان بسيط يحتاج إلى دليل. دع السطح يرسم من خلال الخطوط: l || ج. في Ω أ = ج. دعني أحصل على نقطة مشتركة مع أ. يجب أن تقع على ص. وهذا ينافي الشرط: ل || ج. ثم l موازي للمستوى a. وضع البداية صحيح.

مهم! يوجد سطر واحد على الأقل في الفضاء || سطح مستو. وهذا يتفق مع بيان الهندسة الأولية (التخطيط).

فكرة بسيطة: a ينتمي إلى أكثر من نقطة l، مما يعني أن الخط المستقيم l ينتمي بالكامل إلى a.

أ || ل فقط في حالة عدم وجود نقطة تقاطع واحدة.

هذا تعريف منطقي للتوازي بين الخط والمستوى.

سهل الإيجاد الاستخدام العمليأحكام. كيف تثبت أن خطًا واحدًا يوازي المستوى؟

يكفي استخدام الميزة المدروسة.

ما هو مفيد أن نعرف

لحل المهام بكفاءة، تحتاج إلى دراسة مواقع إضافية للكائنات. الأساس هو علامة التوازي بين الخط المستقيم والمستوى. استخدامه سيجعل من السهل فهم العناصر الأخرى. هندسة الفضاء تعتبر حالات خاصة.

التقاطعات في القياس المجسم

الكائنات السابقة: سطح مستوأ، الخطوط ج، ل. كيف هم بجانب بعضهم البعض؟ مع || ل. L يتقاطع مع A. من السهل أن نفهم: c سوف يتقاطع بالتأكيد مع a. هذه الفكرة هي فكرة عن تقاطع المستوى بخطوط متوازية.

مجال النشاط آخذ في التوسع. يضاف السطح ج إلى الكائنات قيد الدراسة. إنها تمتلك ل. لم يتغير شيء في الكائنات الأصلية: l || أ. مرة أخرى الأمر بسيط: في حالة تقاطع المستويات، الخط المشترك د || ل.يتبع المفهوم على الفور: أي طائرتين تسمى متقاطعتين. تلك التي لديها خط مشترك.

ما هي النظريات التي تحتاج إلى دراسة

تؤدي المفاهيم الأساسية للعلاقة بين الأشياء إلى وصف البيانات الرئيسية. هم تتطلب أدلة واسعة النطاق.أولاً: نظريات توازي المستقيم والمستوى. يتم النظر في حالات مختلفة.

1. الكائنات: الأسطح P، Q، R، الخطوط المستقيمة AB، CD. الحالة: P||Q، R يتقاطع معهم. بطبيعة الحال، AB||CD.

1. موضوعات البحث: الخطوط AB، CD، A1B1، C1D1. يتقاطع AB مع CD في مستوى واحد، ويتقاطع A1B1 مع C1D1 في مستوى آخر. AB||A1B1، القرص المضغوط||C1D1. الاستنتاج: الأسطح التي تحتوي على مستقيمات متوازية متقاطعة بشكل زوجي، ||.

يظهر مفهوم جديد . خطوط العبور ليست في حد ذاتها متوازية.على الرغم من أنها تقع في طائرات متوازية. هذه هي C1D1 وAB وA1B1 وCD. وتستخدم هذه الظاهرة على نطاق واسع في القياس المجسم العملي.

بيان طبيعي: من خلال أحد خطوط العبور فهو حقيقي يوجد مستوى واحد فقط موازي للمستوى المشار إليه.

1. ومن ثم يكون من السهل الوصول إلى نظرية التتبع. هذه هي العبارة الثالثة حول توازي الخط والسطح. هناك خط مستقيم ل. هي || أ. أنا ينتمي إلى. في Ω أ = د. فقط البديل المحتمل:د || ل.

مهم!الخط المستقيم والمستوى يسمى || في حالة عدم وجود أشياء مشتركة - النقاط.

خصائص التوازي وأدلتها

من السهل التوصل إلى مفهوم ترتيب الأسطح المسطحة:

• المجموعة الفارغة من النقاط المشتركة (وتسمى متوازية)؛
• تتقاطع في خط مستقيم.

يتم استخدامها في القياس المجسم خصائص التوازي.أي صورة مكانية لها أسطح وخطوط. لحل المسائل بنجاح، تحتاج إلى دراسة النظريات الأساسية:

• الكائنات قيد الدراسة : أ || ب؛ ج Ω ب = ل، ج Ω أ = م. الخلاصة: ل ||م. الافتراض يحتاج إلى دليل. موقع l وm هو أحد موقعين: متقاطعين أو متوازيين. لكن في الحالة الثانية، لا تحتوي الأسطح على نقاط مشتركة. ثم ل || م. وقد ثبت البيان. يجب أن نتذكر: إذا كان الخط يقع في الطائرة، فإن لديهم أكثر من نقطة تقاطع.

• هناك سطح أ، النقطة أ لا تنتمي إلى أ. ثم هناك سطح واحد فقط ب || المرور عبر A. إثبات الموقف أمر بسيط. دع ل Ω م؛ ل، م تنتمي إلى أ. يتم إنشاء طائرة من خلال كل منهم و A. إنها تعبر أ. هناك خط يمر عبر A و || أ. عند النقطة A يتقاطعان. أنها تشكل سطح واحد ب || أ.

• هناك خطوط انحراف l و m. ثم هناك || الأسطح a وb التي تنتمي إليها l وm. الشيء المنطقي الذي يجب فعله هو اختيار نقاط عشوائية على l وm. أنفق م1 || م، ل1 || ل. الخطوط المتقاطعة في أزواج || => أ || ب. وقد ثبت الوضع.

إن معرفة خصائص التوازي لخط مستقيم ومستوى واحد ستسمح لك بتطبيقها بمهارة في الممارسة العملية. ستساعدك البراهين البسيطة والمنطقية على التنقل في عالم القياس المجسم الرائع.

الطائرات: تقييم التوازي

المفهوم سهل الوصف. سؤال: ما معنى أن الخط المستقيم والمستوى متوازيان؟ أدت دراسة الفئات الأولية لهندسة الفضاء إلى بيان أكثر تعقيدًا.

عند حل المسائل التطبيقية يتم استخدام خاصية التوازي. وصف بسيط: دع l Ω m، l1 Ω m1، l، m ينتمي إلى a، l1، m1 - b. في هذه الحالة ل || ل1، م || م1. ثم || ب.

بدون استخدام الرموز الرياضية: تسمى المستويات متوازية إذا تم رسمها عبر أزواج من الخطوط المتوازية المتقاطعة.

مراجعات القياس المجسم خصائص الطائرات المتوازية. يتم وصفها من خلال النظريات:

الكائنات قيد الدراسة : أ || ب، أ Ω ج = ل، ب Ω ج = م. ثم ل || م. الأدلة واضحة. والخطوط تقع في نفس المستوى إذا كانت || أو تتقاطع. ينبغي تطبيق البيان حول التوازي بين الخط والسطح. ومن ثم يصبح واضحًا: لا يمكن أن يتقاطع l وm. الشيء الوحيد المتبقي هو l || م.

تتناول هذه المقالة مفهومي توازي الخط والمستوى، وسيتم مناقشة التعريفات الأساسية وإعطاء الأمثلة. دعونا ننظر في علامة التوازي بين الخط والمستوى مع الشروط الضرورية والكافية للتوازي، ونحل أمثلة المهام بالتفصيل.

تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1

يتم استدعاء الخط المستقيم والطائرة موازي، إذا لم يكن بينهما نقاط مشتركة، أي لا يتقاطعان.

يشار إلى التوازي بالرمز "∥". إذا كان الخط المستقيم a والمستوى α متوازيين في حالة معينة، فإن الترميز له الصيغة a ∥ α . النظر في الشكل أدناه.

ويعتبر أن الخط المستقيم الموازي للمستوى α والمستوى α الموازي للخط المستقيم a متساويان، أي أن الخط المستقيم والمستوى متوازيان مع بعضهما البعض في جميع الأحوال.

توازي الخط المستقيم والمستوى - علامة وشروط التوازي

ليس من الواضح دائمًا أن الخط المستقيم والمستوى متوازيان. في كثير من الأحيان هذا يحتاج إلى إثبات. من الضروري استخدام شرط كافٍ يضمن التوازي. وتسمى هذه الميزة علامة توازي الخط والمستوى، ويوصى أولاً بدراسة تعريف الخطوط المتوازية.

النظرية 1

إذا كان الخط المعطى a، الذي لا يقع في المستوى α، موازيًا للخط b الذي ينتمي إلى المستوى α، فإن الخط a موازي للمستوى α.

دعونا نفكر في النظرية المستخدمة لإنشاء توازي خط مع مستوى.

النظرية 2

إذا كان أحد الخطين المتوازيين يوازي مستوى ما، فإن الخط الآخر يقع في هذا المستوى أو يوازيه.

تمت مناقشة الدليل التفصيلي في كتاب الهندسة للصف العاشر إلى الحادي عشر. من الممكن وجود شرط ضروري وكافي لتوازي الخط المستقيم مع المستوى إذا كان هناك تعريف للمتجه الموجه للخط المستقيم والمتجه الطبيعي للمستوى.

النظرية 3

بالنسبة لتوازي الخط أ، الذي لا ينتمي إلى المستوى α، ومستوى معين، فإن الشرط الضروري والكافي هو عمودي المتجه الموجه للخط مع المتجه العادي طائرة معينة.

ينطبق هذا الشرط عندما يكون من الضروري إثبات التوازي في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد. دعونا نلقي نظرة على الدليل التفصيلي.

دليل

لنفترض أن الخط a في نظام الإحداثيات O x y يُعطى بواسطة المعادلات الأساسية لخط في الفضاء، والتي لها الشكل x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z أو بواسطة المعادلات البارامترية لخط في الفضاء x = x 1 + a x · lect y = y 1 + a y · lect z = z 1 + a z · lect، المستوى α مع المعادلات العامة للمستوى A x + B y + C z + D = 0.

ومن ثم فإن a → = (a x , a y , a z) هو متجه اتجاه بإحداثيات الخط a، n → = (A , B , C) هو متجه عادي لمستوى ألفا معين.

لإثبات عمودي n → = (A, B, C) وa → = (a x, a y, a z)، تحتاج إلى استخدام المفهوم المنتج نقطة. أي أنه عندما يكون المنتج a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C يجب أن تكون النتيجة يساوي الصفرمن حالة عمودية المتجهات.

وهذا يعني أن الشرط الضروري والكافي لتوازي الخط والمستوى مكتوب على النحو التالي: a →, n → = a x · A + a y · B + a z · C. ومن ثم فإن a → = (a x , a y , a z) هو متجه الاتجاه للخط المستقيم a مع الإحداثيات، و n → = (A , B , C) هو المتجه الطبيعي للمستوى α .

مثال 1

حدد ما إذا كان الخط x = 1 + 2 · lect y = - 2 + 3 · lect z = 2 - 4 · lect موازي للمستوى x + 6 y + 5 z + 4 = 0.

حل

نجد أن الخط المستقيم المقدم لا ينتمي إلى المستوى، لأن إحداثيات الخط المستقيم M (1، - 2، 2) غير مناسبة. عند التعويض نجد أن 1 + 6 · (- 2) + 5 · 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0.

من الضروري التحقق من استيفاء الشرط الضروري والكافي لتوازي الخط والمستوى. نحصل على أن إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم x = 1 + 2 · lect y = - 2 + 3 · lect z = 2 - 4 · lect لها القيم a → = (2, 3, - 4) ).

المتجه الطبيعي للمستوى x + 6 y + 5 z + 4 = 0 يعتبر n → = (1, 6, 5). دعنا ننتقل إلى حساب المنتج القياسي للمتجهين a → و n →. نحصل على أن a →, n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0.

هذا يعني أن عمودي المتجهين a → و n → واضح. ويترتب على ذلك أن الخط المستقيم والمستوى متوازيان.

إجابة:الخط المستقيم والمستوى متوازيان.

مثال 2

حدد توازي الخط المستقيم A B في المستوى الإحداثي O y z عندما تكون الإحداثيات A (2، 3، 0)، B (4، - 1، - 7) معطاة.

حل

ووفقا للشرط، فمن الواضح أن النقطة A (2، 3، 0) لا تقع على المحور O x، لأن قيمة x لا تساوي 0.

بالنسبة للمستوى O x z، يعتبر المتجه ذو الإحداثيات i → = (1، 0، 0) متجهًا عاديًا لهذا المستوى. دعونا نشير إلى متجه الاتجاه للخط المستقيم A B كـ A B → . الآن، باستخدام إحداثيات البداية والنهاية، نحسب إحداثيات المتجه A B . نحصل على أن A B → = (2, - 4, - 7) . من الضروري التحقق مما إذا كانت الشروط الضرورية والكافية للمتجهين A B → = (2، - 4، - 7) و i → = (1، 0، 0) مستوفاة لتحديد عموديهما.

دعونا نكتب A B → , i → = 2 · 1 + (- 4) · 0 + (- 7) · 0 = 2 ≠ 0 .

ويتبع ذلك الخط المستقيم A B c خطة تنسيق O y z ليسا متوازيين.

إجابة:غير متوازي.

الشرط المعطى لا يجعل من السهل دائمًا تحديد إثبات توازي الخط والمستوى. هناك حاجة للتحقق مما إذا كان الخط المستقيم a ينتمي إلى المستوى α. هناك شرط آخر كافٍ يمكن استخدامه لإثبات التوازي.

بالنسبة لخط مستقيم معين a، باستخدام معادلة المستويين المتقاطعين A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0، المستوى α - المعادلة العامةالمستوى أ س + ب ص + ج ض + د = 0.

النظرية 4

الشرط الضروري والكافي للتوازي بين الخط المستقيم a والمستوى α هو عدم وجود حلول للنظام المعادلات الخطية، لها الصيغة A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0.

دليل

يترتب على التعريف أن الخط المستقيم a مع المستوى α لا ينبغي أن يحتوي على نقاط مشتركة، أي لا يتقاطع، فقط في هذه الحالة سيتم اعتبارهما متوازيين. وهذا يعني أن نظام الإحداثيات O x y z لا ينبغي أن يحتوي على نقاط تابعة له وتلبي جميع المعادلات:

أ 1 س + ب 1 ذ + ج 1 ض + د 1 = 0 أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 ض + د 2 = 0، وكذلك معادلة المستوى أ س + ب ذ + ج ض + د = 0.

ولذلك، فإن نظام المعادلات له الصيغة A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 يسمى غير متناسق.

والعكس هو الصحيح: في حالة عدم وجود حلول للنظام A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 لا توجد نقاط في O x y z تحقق جميع المعادلات المعطاة في وقت واحد. نجد أنه لا توجد نقطة ذات إحداثيات يمكن أن تكون حلولاً فورية لجميع المعادلات A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 و المعادلات أ س + ب ص + ج ض + د = 0. وهذا يعني أن لدينا توازيًا بين الخط المستقيم والمستوى، حيث لا توجد نقاط تقاطع بينهما.

نظام المعادلات A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 لا يوجد لديه الحل، عندما تكون رتبة المصفوفة الرئيسية أقل من رتبة المصفوفة الموسعة. يتم التحقق من ذلك من خلال نظرية كرونيكر-كابيلي لحل المعادلات الخطية. يمكن استخدام الطريقة الغوسية لتحديد عدم توافقها.

مثال 3

أثبت أن الخط x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 يوازي المستوى 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0.

حل

للحصول على حلول هذا المثالينبغي للمرء أن ينتقل من المعادلة القانونية للخط المستقيم إلى شكل معادلة طائرتين متقاطعتين. لنكتبها هكذا:

x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 x = - 1 (y + 2) 3 x = - 1 z 3 (y + 2) = - 1 z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + ض = 0

لإثبات توازي خط معين x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 مع المستوى 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0، من الضروري تحويل المعادلات إلى نظام المعادلات x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .

ونحن نرى أنها غير قابلة للحل، لذلك سوف نلجأ إلى طريقة غاوس.

وبعد كتابة المعادلات نجد أن 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .

ومن هنا نستنتج أن نظام المعادلات غير متناسق، إذ لا يتقاطع الخط المستقيم والمستوى، أي لا توجد نقاط مشتركة بينهما.

نستنتج أن الخط المستقيم x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 والمستوى 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 متوازيان، لأن الشرط الضروري والكافي لتوازي المستوى مع الخط المستقيم المعطى قد تم استيفاءه.

إجابة:الخط والمستوى متوازيان.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

جميع الحالات الممكنة الموقع النسبي للخط المستقيم والمستوى في الفضاء :

يقع الخط المستقيم على المستوى إذا جميع النقاط على الخط تنتمي إلى الطائرة.

تعليق . لكي يقع الخط على المستوى، من الضروري والكافي أن تنتمي أي نقطتين من هذا الخط إلى هذا المستوى.

يقطع الخط المستقيم المستوى إذا كان الخط المستقيم والمستوى متقاطعين النقطة المشتركة الوحيدة

الخط المستقيم يوازي المستوى إذا كان الخط المستقيم والمستوى ليس لديهم نقاط مشتركة. (لا يتقاطعان

البيان 1 . لنفترض أن الخط المستقيم أوالمستوى α متوازيان، والمستوى β يمر عبر الخط أ.ثم هناك حالتان محتملتان:

ولكن بعد ذلك الفترة صتبين أنها نقطة تقاطع الخط أوالطائرة α، ونحصل على تناقض مع حقيقة أن الخط المستقيم أوالمستوى α متوازيان. التناقض الناتج يكمل إثبات العبارة 1.

البيان 2 (علامة التوازي بين الخط والمستوى) . إذا كان مستقيما أ،لا يقع في المستوى α، بالتوازي مع خط ما بملقاة في الطائرة α، ثم الخط المستقيم أوالمستوى α متوازيان.

دليل. دعونا نثبت علامة التوازي بين الخط المستقيم والمستوى "بالتناقض". لنفترض أن الخط المستقيم أيتقاطع مع المستوى α في مرحلة ما ص.دعونا نرسم المستوى β عبر خطوط متوازية أو ب.

نقطة صتقع على خط مستقيم أوينتمي إلى الطائرة β. ولكن بافتراض هذه النقطة صينتمي إلى المستوى α، وبالتالي النقطة صتقع على خط مستقيم ب،حيث تتقاطع الطائرات α و β. ومع ذلك، مباشرة أو بمتوازية حسب الشرط ولا يمكن أن يكون لها نقاط مشتركة.

التناقض الناتج يكمل إثبات معيار التوازي للخط والمستوى.

نظريات

• إذا كان الخط الذي يقطع المستوى عموديًا على خطين يقعان في هذا المستوى ويمران بنقطة تقاطع هذا الخط مع المستوى، فإنه يكون عموديًا على المستوى.
• إذا كان المستوى عموديًا على أحد المستقيمين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الآخر.
• إذا كان المستقيمان متعامدين على نفس المستوى، فإنهما متوازيان.
• إذا كان الخط المستقيم الواقع في المستوى عموديًا على مسقط المائل، فهو أيضًا عمودي على المائل.
• إذا كان المستقيم الذي لا يقع في مستوى معين يوازي خطًا ما يقع في هذا المستوى، فهو موازي لهذا المستوى.
• إذا كان المستقيم موازيًا لمستوى ما، فإنه يوازي خطًا ما في هذا المستوى.
• إذا كان المستقيم والمستوى متعامدين على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان.
• جميع نقاط الخط الموازي للمستوى تكون بعيدة بنفس القدر عن هذا المستوى.

يسمى الخط والمستوى متوازيين إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة. إذا كان الخط الذي لا يقع في مستوى معين يوازي خطًا ما يقع في هذا المستوى

1. إذا مر مستوى معين بمستقيم موازي لمستوى آخر وتقاطع مع هذا المستوى، فإن خط تقاطع المستويات يكون موازياً للمستقيم المعطى.

2. إذا كان أحد الخطين المتوازيين يوازي مستوى معين، وكان للخط الآخر نقطة مشتركة مع المستوى، فإن هذا الخط يقع في المستوى المعطى. المستوى، فهو موازٍ للمستوى نفسه.

حالات الموضع النسبي للخط المستقيم والمستوى:أ) يقع الخط المستقيم في المستوى؛

ب) الخط المستقيم والمستوى لهما نقطة مشتركة واحدة فقط ج) الخط المستقيم والمستوى ليس لهما نقطة مشتركة واحدة.

2. تحديد القيمة الطبيعية لقطعة خط مستقيم في الوضع العام باستخدام طريقة المثلث القائم.

القيمة الطبيعية (n.v.) للقطعة المستقيمة AB في الموضع العام هي الوتر مثلث قائمايه في كيه. في هذا المثلث، تكون الساق AK موازية لمستوى الإسقاط π1 وتساوي الإسقاط الأفقي للقطعة A "B". الساق BK تساوي الفرق في مسافات النقطتين A و B من المستوى π1.

في الحالة العامة، لتحديد القيمة الطبيعية لقطعة خط مستقيم، من الضروري بناء الوتر للمثلث القائم الزاوية، حيث تكون إحدى ساقيه هي الإسقاط الأفقي (الأمامي) للقطعة، والساق الأخرى عبارة عن قطعة متساوية في القيمة إلى الفرق الجبري في إحداثيات Z (Y) للنقاط القصوى للمقطع.

من المثلث الأيمن، ابحث عن الزاوية α - زاوية ميل الخط المستقيم إلى مستوى الإسقاط الأفقي.

لتحديد زاوية ميل الخط المستقيم إلى المستوى الأمامي للإسقاطات، من الضروري إجراء إنشاءات مماثلة على الإسقاط الأمامي للقطعة.

3. الخطوط الرئيسية للمستوى (الأفقية، الأمامية).

المستوى الأفقي للمستوى P هو خط مستقيم يقع في هذا المستوى ويوازي المستوى الأفقي. الأفقي، كخط مستقيم موازي للمستوى الأفقي، له إسقاط أمامي موازي للمحور x.

المستوى الأمامي للمستوى P هو خط مستقيم يقع في هذا المستوى وموازي للمستوى الأمامي.

الجبهي هو خط مستقيم موازي للمستوى الأمامي، وإسقاطه الأفقي يوازي المحور السيني.

4. الموقع النسبي للخطوط في الفضاء. تحديد الرؤية على أساس النقاط المتنافسة.يمكن أن يكون لخطين مستقيمين في الفضاء مواقع مختلفة: أ) يتقاطعان (يقعان في نفس المستوى). حالة خاصة من التقاطع تكون في زوايا قائمة؛ ب) يمكن أن تكون متوازية (تقع في نفس المستوى)؛ ج) تتزامن - حالة خاصة من التوازي؛ د) تتقاطع (تقع في مستويات مختلفة ولا تتقاطع).

يتم استدعاء النقاط التي تتطابق إسقاطاتها على P1 المنافسةبالنسبة للمستوى P1، وتسمى النقاط التي تتطابق إسقاطاتها على P2 المنافسةفيما يتعلق بالطائرة P2.

تتنافس النقطتان K وL فيما يتعلق بالمستوى P1، حيث أنه على المستوى P1 يتم إسقاط النقطتين K وL في نقطة واحدة: K1 = L1.

النقطة K أعلى من النقطة L، لأن K2 أعلى من النقطة L2، وبالتالي فإن K1 تكون مرئية على P1.

1. صياغة تعريف خطوط الانحراف. قم بصياغة وإثبات نظرية تعبر عن خاصية الخطوط المنحرفة. 2/أثبت أنه إذا كان اثنان

المستقيمان الموازيان للخط الثالث، إذن هما متوازيان. 3. أنشئ مقطعاً من متوازي السطوح ABCDA1B1C1D1 مع مرور مستوى بالنقاط A وC وM، حيث M هو منتصف حافة AlDl.

أي من الشخصيات ليست الشخصية الرئيسية في الفضاء؟ 1) نقطة؛ 2) الجزء؛ 3) مستقيم. 4) الطائرة.

2. مباشرأ وب التهجين. كيف يقع الخط؟ب نسبة إلى الطائرة α، إذا كان الخط هو ϵ α؟

1) الصلبان. 2) بالتوازي. 3) يكمن في الطائرة. 4) الصلبان.

3. تحديد العبارة الصحيحة:

1) العمودي أطول من العمودي المائل.

2) إذا كانت المائلتان غير متساويتين فإن المائلة الأكبر لها بروز أصغر.

3) يكون المستقيم عموديًا على المستوى إذا كان متعامدًا على ضلعي المثلث الواقع في هذا المستوى.

4) الزاوية بين خط متوازي ومستوى هي 90 درجة.

4. المسافة بين اثنين طائرات متوازيةيساوي 8 سم، ويقع بينهما قطعة مستقيمة طولها 17 سم بحيث تنتمي أطرافها إلى المستويات. أوجد إسقاط هذا الجزء على كل مستوى من المستويات.

1) 15 سم؛ 2) 9 سم؛ 3) 25 سم) 4) 12 سم.

5. يتم رسم TE عمودي يساوي 6 dm على مستوى MCRT. احسب المسافة من النقطة E إلى قمة المعين K، إذا كانت MK = 8 dm، فإن زاوية M للمعين تكون 60 درجة.

1) 10 مارك ألماني؛ 2) 14 مارك ألماني؛ 3) 8 مارك ألماني؛ 4) 12 ملم.

6. طول الوتر في مثلث قائم الزاوية هو 12 سم، خارج مستوى المثلث، توجد نقطة تبعد 10 سم عن كل رأس من رؤوس المثلث، أوجد المسافة من النقطة إلى مستوى المثلث.

1) 4 سم؛ 2) 16 سم؛ 3) 8 سم؛ 4) 10 سم.

7. من نقطة معينة، يتم رسم خط متعامد ومائل على مستوى معين، الزاوية بينهما 60 درجة. أوجد إسقاط المستوى المائل على المستوى المعطى إذا كان العمودي عليه ٥ سم.

1) 5√3 سم؛ 2) 10 سم؛ 3) 5 سم؛ 4) 10√3 سم.

8. أوجد السطح الجانبي لهرم مثلث منتظم إذا كان طول ضلع القاعدة 2 سم، وكل ذلك زوايا ثنائي السطوحفي القاعدة تساوي 30 درجة.

1) 2 سم2؛ 2) 2√3 سم2؛ 3) √3 سم2؛ 4) 3√2 سم2.

9. أوجد مساحة السطح متوازي مستطيلحسب أبعادها الثلاثة 3 سم، 4 سم، 5 سم.

1) 94 سم2؛ 2) 47 سم2؛ 3) 20 سم2؛ 4) 54 سم2.

طائرة.

ب) إذا قطع أحد المستقيمين المتوازيين مستوى معين، فإن الخط الآخر يقطع هذا المستوى أيضًا.

ج) إذا كان المستقيمان موازيين لخط ثالث فإنهما متقاطعان

د) إذا لم يكن هناك نقاط مشتركة بين الخط المستقيم والمستوى، فإن الخط المستقيم يقع في المستوى

ه) يسمى الخط المستقيم والمستوى بالتقاطع إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة

المستوى؛ ب) إذا تقاطع أحد المستقيمين المتوازيين مع مستوى معين، فإن الخط الآخر يتقاطع مع هذا المستوى أيضًا؛ ج) إذا كان الخطان موازيين لخط ثالث، فإنهما يتقاطعان؛ د) إذا كان الخط والمستوى لا يتقاطعان لديهم نقاط مشتركة، ثم يقع الخط في المستوى) يقال إن الخط المستقيم والمستوى يتقاطعان إذا لم يكن لديهما نقاط مشتركة.
2. الخط c، الموازي للخط a، يتقاطع مع المستوى β. الخط b يوازي الخط a ثم: