Δυναμική εξίσωση για ένα σύστημα υλικών σημείων. Βασική εξίσωση δυναμικής. Γενική εξίσωση δυναμικής

Εισαγωγή

Η κινηματική ασχολείται με την περιγραφή των απλούστερων τύπων μηχανικών κινήσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θίχτηκαν οι λόγοι που προκαλούν αλλαγές στη θέση του σώματος σε σχέση με άλλα σώματα και το σύστημα αναφοράς επιλέχθηκε για λόγους ευκολίας κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος. Στη δυναμική, καταρχάς, ενδιαφέρον έχουν οι λόγοι για τους οποίους ορισμένα σώματα αρχίζουν να κινούνται σε σχέση με άλλα σώματα, καθώς και οι παράγοντες που προκαλούν την εμφάνιση της επιτάχυνσης. Ωστόσο, οι νόμοι στη μηχανική, αυστηρά μιλώντας, έχουν διαφορετικές μορφές σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς. Έχει διαπιστωθεί ότι υπάρχουν τέτοια συστήματα αναφοράς στα οποία οι νόμοι και τα πρότυπα δεν εξαρτώνται από την επιλογή του συστήματος αναφοράς. Τέτοια συστήματα αναφοράς ονομάζονται αδρανειακά συστήματα(ISO). Σε αυτά τα συστήματα αναφοράς, το μέγεθος της επιτάχυνσης εξαρτάται μόνο από τις δρώντες δυνάμεις και δεν εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος αναφοράς. Το αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς είναι ηλιοκεντρικό πλαίσιο αναφοράς, η προέλευση του οποίου βρίσκεται στο κέντρο του Ήλιου. Τα συστήματα αναφοράς που κινούνται ομοιόμορφα ευθύγραμμα σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα είναι επίσης αδρανειακά και τα συστήματα αναφοράς που κινούνται με επιτάχυνση σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα είναι μη αδρανειακή. Για αυτούς τους λόγους, η επιφάνεια της γης είναι, αυστηρά, ένα μη αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς. Σε πολλά προβλήματα, το πλαίσιο αναφοράς που σχετίζεται με τη Γη μπορεί να θεωρηθεί αδρανειακό με καλό βαθμό ακρίβειας.

Βασικοί νόμοι δυναμικής σε αδρανειακή και μη αδρανειακή

Συστήματα αναφοράς

Η ικανότητα ενός σώματος να διατηρεί μια κατάσταση ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης ή να βρίσκεται σε ηρεμία στο ISO ονομάζεται αδράνεια του σώματος. Το μέτρο της αδράνειας του σώματος είναι βάρος. Η μάζα είναι μια κλιμακωτή ποσότητα, μετρούμενη σε κιλά (kg) στο σύστημα SI. Το μέτρο της αλληλεπίδρασης είναι μια ποσότητα που ονομάζεται με το ΖΟΡΙ. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, μετρημένο σε Newton (N) στο σύστημα SI.

Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα. Στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, ένα σημείο κινείται ομοιόμορφα σε ευθεία γραμμή ή βρίσκεται σε ηρεμία εάν το άθροισμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό είναι ίσο με μηδέν, δηλ.

πού είναι οι δυνάμεις που δρουν σε ένα δεδομένο σημείο.

Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα. Στα αδρανειακά συστήματα, ένα σώμα κινείται με επιτάχυνση αν το άθροισμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό δεν είναι ίσο με μηδέν και το γινόμενο της μάζας του σώματος και της επιτάχυνσής του είναι ίσο με το άθροισμα αυτών των δυνάμεων, δηλ.:

Τρίτος νόμος του Νεύτωνα. Οι δυνάμεις με τις οποίες δρουν τα σώματα μεταξύ τους είναι ίσες σε μέγεθος και αντίθετες ως προς την κατεύθυνση, δηλ.: .

Οι δυνάμεις, ως μέτρα αλληλεπίδρασης, γεννιούνται πάντα σε ζεύγη.

Για την επιτυχή επίλυση των περισσότερων προβλημάτων χρησιμοποιώντας τους νόμους του Νεύτωνα, είναι απαραίτητο να τηρήσουμε μια συγκεκριμένη ακολουθία ενεργειών (ένα είδος αλγορίθμου).

Τα κύρια σημεία του αλγορίθμου.

1. Αναλύστε την κατάσταση του προβλήματος και ανακαλύψτε με ποια σώματα αλληλεπιδρά το εν λόγω σώμα. Με βάση αυτό, προσδιορίστε την ποσότητα των δυνάμεων που ασκούνται στο εν λόγω σώμα. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός των δυνάμεων που δρουν στο σώμα είναι ίσος με . Στη συνέχεια, κάντε ένα σχηματικά σωστό σχέδιο στο οποίο θα σχεδιάσετε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.

2. Χρησιμοποιώντας τη συνθήκη του προβλήματος, προσδιορίστε την κατεύθυνση της επιτάχυνσης του εν λόγω σώματος και απεικονίστε το διάνυσμα της επιτάχυνσης στο σχήμα.

3. Γράψτε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή, δηλ.

Οπου δυνάμεις που δρουν στο σώμα.

4. Επιλέξτε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Σχεδιάστε στο σχήμα ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, του οποίου ο άξονας OX κατευθύνεται κατά μήκος του διανύσματος επιτάχυνσης, οι άξονες OY και OZ κατευθύνονται κάθετα στον άξονα OX.

5. Χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα των ισοτήτων διανυσμάτων, γράψτε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τις προβολές των διανυσμάτων στους άξονες των συντεταγμένων, δηλ.:

6. Εάν σε ένα πρόβλημα, εκτός από δυνάμεις και επιταχύνσεις, είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός συντεταγμένων και ταχύτητας, τότε, εκτός από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν και κινηματικές εξισώσεις κίνησης. Έχοντας καταγράψει ένα σύστημα εξισώσεων, είναι απαραίτητο να δοθεί προσοχή στο γεγονός ότι ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων σε αυτό το πρόβλημα.

Ας εξετάσουμε ένα μη αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από έναν άξονα που κινείται μεταφορικά με ταχύτητα σε σχέση με το αδρανειακό πλαίσιο. Σε αυτή την περίπτωση, η επιτάχυνση ενός σημείου στο αδρανειακό πλαίσιο () σχετίζεται με την επιτάχυνση στο μη αδρανειακό πλαίσιο () από τη σχέση:

όπου είναι η επιτάχυνση του μη αδρανειακού συστήματος σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα, η γραμμική ταχύτητα ενός σημείου στο μη αδρανειακό σύστημα. Από την τελευταία σχέση, αντί για επιτάχυνση, αντικαθιστούμε στην ισότητα (1), παίρνουμε την έκφραση:

Αυτή η αναλογία ονομάζεται Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα σε ένα μη αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς.

Δυνάμεις αδράνειας. Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

1. – μπροστινή αδρανειακή δύναμη;

2. – Δύναμη Coriolis;

3 – φυγόκεντρη δύναμη αδράνειας.

Στα προβλήματα, η μεταφορική δύναμη αδράνειας απεικονίζεται έναντι του διανύσματος με την επιτάχυνση της μεταφορικής κίνησης ενός μη αδρανειακού πλαισίου αναφοράς (), η φυγόκεντρος δύναμη αδράνειας αντιπροσωπεύεται από το κέντρο περιστροφής κατά μήκος της ακτίνας (). η κατεύθυνση της δύναμης Coriolis καθορίζεται από τον κανόνα τρυπάνιγια το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων.

Αυστηρά μιλώντας, οι αδρανειακές δυνάμεις δεν είναι δυνάμεις με την πλήρη έννοια, γιατί Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα δεν ισχύει για αυτούς, δηλ. δεν είναι ζευγαρωμένα.

Εξουσίες

Η δύναμη της παγκόσμιας βαρύτητας. Η δύναμη της παγκόσμιας βαρύτητας προκύπτει κατά τη διαδικασία αλληλεπίδρασης μεταξύ σωμάτων με μάζες και υπολογίζεται από τη σχέση:

. (4)

Ο συντελεστής αναλογικότητας ονομάζεται βαρυτική σταθερά. Η τιμή του στο σύστημα SI είναι ίση με .

Η δύναμη της αντίδρασης. Οι δυνάμεις αντίδρασης προκύπτουν όταν ένα σώμα αλληλεπιδρά με διάφορες δομές που περιορίζουν τη θέση του στο χώρο. Για παράδειγμα, ένα σώμα που αιωρείται σε ένα νήμα ασκείται από μια δύναμη αντίδρασης, που συνήθως ονομάζεται δύναμη ένταση. Η δύναμη τάνυσης του νήματος κατευθύνεται πάντα κατά μήκος του νήματος.Δεν υπάρχει τύπος για τον υπολογισμό της αξίας του. Συνήθως η τιμή του βρίσκεται είτε από τον πρώτο είτε από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Οι δυνάμεις αντίδρασης περιλαμβάνουν επίσης δυνάμεις που δρουν σε ένα σωματίδιο σε λεία επιφάνεια. Την φωνάζουν κανονική δύναμη αντίδρασης, δηλώνουν . Η δύναμη αντίδρασης κατευθύνεται πάντα κάθετα στην υπό εξέταση επιφάνεια. Η δύναμη που ασκείται σε μια λεία επιφάνεια από την πλευρά του σώματος ονομάζεται κανονική δύναμη πίεσης(). Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη αντίδρασης είναι ίση σε μέγεθος με τη δύναμη της κανονικής πίεσης, αλλά τα διανύσματα αυτών των δυνάμεων είναι αντίθετα στην κατεύθυνση.

Ελαστική δύναμη. Ελαστικές δυνάμεις προκύπτουν στα σώματα εάν τα σώματα παραμορφωθούν, δηλ. αν αλλάξει το σχήμα του σώματος ή ο όγκος του. Όταν σταματήσει η παραμόρφωση, οι ελαστικές δυνάμεις εξαφανίζονται. Πρέπει να σημειωθεί ότι, αν και κατά την παραμόρφωση των σωμάτων προκύπτουν ελαστικές δυνάμεις, η παραμόρφωση δεν οδηγεί πάντα στην εμφάνιση ελαστικών δυνάμεων. Ελαστικές δυνάμεις προκύπτουν σε σώματα που είναι ικανά να αποκαταστήσουν το σχήμα τους μετά την παύση της εξωτερικής επιρροής. Τέτοια σώματα και οι αντίστοιχες παραμορφώσεις ονομάζονται ελαστικό. Με την πλαστική παραμόρφωση, οι αλλαγές δεν εξαφανίζονται εντελώς μετά την παύση της εξωτερικής επιρροής. Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα της εκδήλωσης ελαστικών δυνάμεων μπορεί να είναι οι δυνάμεις που προκύπτουν σε ελατήρια που υπόκεινται σε παραμόρφωση. Για ελαστικές παραμορφώσεις που συμβαίνουν σε παραμορφωμένα σώματα, η ελαστική δύναμη είναι πάντα ανάλογη με το μέγεθος της παραμόρφωσης, δηλαδή:

, (5)

όπου είναι ο συντελεστής ελαστικότητας (ή ακαμψίας) του ελατηρίου, το διάνυσμα παραμόρφωσης του ελατηρίου.

Αυτή η δήλωση ονομάζεται Ο νόμος του Χουκ.

Δύναμη τριβής. Όταν ένα σώμα κινείται κατά μήκος της επιφάνειας ενός άλλου, προκύπτουν δυνάμεις που εμποδίζουν αυτή την κίνηση. Τέτοιες δυνάμεις συνήθως ονομάζονται δυνάμεις τριβής ολίσθησης. Το μέγεθος της στατικής δύναμης τριβής μπορεί να ποικίλλει ανάλογα με την εφαρμοζόμενη εξωτερική δύναμη. Σε μια ορισμένη τιμή της εξωτερικής δύναμης, η δύναμη στατικής τριβής φτάνει τη μέγιστη τιμή της. Μετά από αυτό, το σώμα αρχίζει να γλιστράει. Έχει διαπιστωθεί πειραματικά ότι η δύναμη της τριβής ολίσθησης είναι ευθέως ανάλογη με τη δύναμη της κανονικής πίεσης του σώματος στην επιφάνεια.Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη της κανονικής πίεσης ενός σώματος σε μια επιφάνεια είναι πάντα ίση με τη δύναμη αντίδρασης με την οποία η ίδια η επιφάνεια δρα σε ένα κινούμενο σώμα. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, ο τύπος για τον υπολογισμό του μεγέθους της δύναμης τριβής ολίσθησης έχει τη μορφή:

, (6)

πού είναι το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης; συντελεστής τριβής ολίσθησης. Η δύναμη τριβής ολίσθησης που επενεργεί σε ένα κινούμενο σώμα στρέφεται πάντα ενάντια στην ταχύτητά του, κατά μήκος των επιφανειών επαφής.

Η δύναμη της αντίστασης. Όταν τα σώματα κινούνται σε υγρά και αέρια, προκύπτουν επίσης δυνάμεις τριβής, αλλά διαφέρουν σημαντικά από τις δυνάμεις της ξηρής τριβής. Αυτές οι δυνάμεις ονομάζονται ιξώδεις δυνάμεις τριβής, ή δυνάμεις αντίστασης. Οι δυνάμεις ιξώδους τριβής προκύπτουν μόνο κατά τη σχετική κίνηση των σωμάτων. Οι δυνάμεις αντίστασης εξαρτώνται από πολλούς παράγοντες, και συγκεκριμένα: από το μέγεθος και το σχήμα των σωμάτων, από τις ιδιότητες του μέσου (πυκνότητα, ιξώδες), από την ταχύτητα της σχετικής κίνησης. Σε χαμηλές ταχύτητες, η δύναμη έλξης είναι ευθέως ανάλογη με την ταχύτητα του σώματος σε σχέση με το μέσο, δηλαδή:

. (7)

Σε υψηλές ταχύτητες, η δύναμη οπισθέλκουσας είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας του σώματος σε σχέση με το μέσο, δηλαδή:

, (8)

όπου ονομάζονται ορισμένοι συντελεστές αναλογικότητας συντελεστές αντίστασης.

Βασική εξίσωση δυναμικής

Η βασική εξίσωση της δυναμικής ενός υλικού σημείου δεν είναι παρά μια μαθηματική έκφραση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα:

. (9)

Σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, το άθροισμα όλων των δυνάμεων περιλαμβάνει μόνο δυνάμεις που είναι μέτρα αλληλεπιδράσεων σε μη αδρανειακά πλαίσια, το άθροισμα των δυνάμεων περιλαμβάνει αδρανειακές δυνάμεις.

Από μαθηματική άποψη, η σχέση (9) είναι μια διαφορική εξίσωση κίνησης ενός σημείου σε διανυσματική μορφή. Η επίλυσή του είναι το κύριο πρόβλημα της δυναμικής ενός υλικού σημείου.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Εργασία Νο. 1. Ένα ποτήρι τοποθετείται σε ένα φύλλο χαρτιού. Με ποια επιτάχυνση πρέπει να τεθεί σε κίνηση το φύλλο για να το βγάλει από κάτω από το γυαλί, αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ του γυαλιού και του φύλλου χαρτιού είναι 0,3;

Ας υποθέσουμε ότι με κάποια δύναμη που ασκείται σε ένα φύλλο χαρτιού, το γυαλί κινείται μαζί με το φύλλο. Ας απεικονίσουμε χωριστά τις δυνάμεις που δρουν σε ένα ποτήρι με μάζα . Τα ακόλουθα σώματα δρουν στο γυαλί: η Γη με τη δύναμη της βαρύτητας, ένα φύλλο χαρτιού με δύναμη αντίδρασης, ένα φύλλο χαρτιού με δύναμη τριβής που κατευθύνεται κατά μήκος της ταχύτητας κίνησης του γυαλιού. Η κίνηση του γυαλιού επιταχύνεται ομοιόμορφα, επομένως, το διάνυσμα επιτάχυνσης κατευθύνεται κατά μήκος της ταχύτητας κίνησης του γυαλιού.

Ας απεικονίσουμε το διάνυσμα επιτάχυνσης του γυαλιού στο σχήμα. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή για τις δυνάμεις που δρουν στο γυαλί:

Ας κατευθύνουμε τον άξονα OX κατά μήκος του διανύσματος επιτάχυνσης του γυαλιού και τον άξονα OY ¾ κατακόρυφα προς τα πάνω. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε προβολές σε αυτούς τους άξονες συντεταγμένων και ας λάβουμε τις ακόλουθες εξισώσεις:

(1.1)

Καθώς αυξάνεται η δύναμη που ασκεί το φύλλο χαρτιού, αυξάνεται το μέγεθος της δύναμης τριβής με την οποία το φύλλο χαρτιού δρα στο γυαλί. Σε μια ορισμένη τιμή της δύναμης, το μέγεθος της δύναμης τριβής φτάνει στη μέγιστη τιμή της, ίση σε μέγεθος με τη δύναμη τριβής ολίσθησης. Από αυτή τη στιγμή το ποτήρι αρχίζει να γλιστρά σε σχέση με την επιφάνεια του χαρτιού. Η οριακή τιμή της δύναμης τριβής σχετίζεται με τη δύναμη αντίδρασης που επενεργεί στο γυαλί ως εξής:

Από την ισότητα (1.2) εκφράζουμε το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης και στη συνέχεια το αντικαθιστούμε στην τελευταία σχέση, έχουμε . Από τη σχέση που προκύπτει βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης τριβής και το βάζουμε στην ισότητα (1.1), λαμβάνουμε μια έκφραση για τον προσδιορισμό της μέγιστης επιτάχυνσης του γυαλιού:

Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές των ποσοτήτων στην τελευταία ισότητα, βρίσκουμε την τιμή της μέγιστης επιτάχυνσης του γυαλιού:

Η προκύπτουσα τιμή επιτάχυνσης του γυαλιού είναι ίση με την ελάχιστη επιτάχυνση ενός φύλλου χαρτιού στο οποίο μπορεί να "τραβηχτεί" από κάτω από το γυαλί.

Απάντηση: .

Ας απεικονίσουμε όλες τις δυνάμεις που δρουν στο σώμα. Εκτός από την εξωτερική δύναμη, η Γη επιδρά στο σώμα με τη δύναμη της βαρύτητας, μια οριζόντια επιφάνεια με μια δύναμη αντίδρασης και μια δύναμη τριβής που στρέφεται ενάντια στην ταχύτητα του σώματος. Το σώμα κινείται με ομοιόμορφη επιτάχυνση και, ως εκ τούτου, το διάνυσμα της επιτάχυνσής του κατευθύνεται κατά μήκος της ταχύτητας κίνησης. Ας απεικονίσουμε το διάνυσμα στο σχήμα. Επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα. Γράφουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή:

Χρησιμοποιώντας την κύρια ιδιότητα των διανυσματικών ισοτήτων, καταγράφουμε τις εξισώσεις για τις προβολές των διανυσμάτων που περιλαμβάνονται στην τελευταία διανυσματική ισότητα:

Καταγράφουμε τη σχέση για τη δύναμη τριβής ολίσθησης

Από την ισότητα (2.2) βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης

Από την παράσταση που προκύπτει, αντικαθιστούμε σε ισότητα (2.3) αντί για το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης, λαμβάνουμε την έκφραση

Αντικαθιστώντας την προκύπτουσα έκφραση για τη δύναμη τριβής με ισότητα (2.1), θα έχουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης του σώματος:

Αντικαθιστούμε τα αριθμητικά δεδομένα στο σύστημα SI στον τελευταίο τύπο και βρίσκουμε το μέγεθος της επιτάχυνσης του φορτίου:

Απάντηση: .

Για το ελάχιστο μέγεθος της δύναμης, προσδιορίζουμε την κατεύθυνση της δύναμης τριβής που δρα στο μπλοκ ηρεμίας. Ας φανταστούμε ότι η δύναμη είναι μικρότερη από την ελάχιστη δύναμη που αρκεί για να παραμείνει το σώμα σε ηρεμία. Σε αυτή την περίπτωση, το σώμα θα κινηθεί προς τα κάτω και η δύναμη τριβής που εφαρμόζεται σε αυτό θα κατευθυνθεί κατακόρυφα προς τα πάνω. Για να σταματήσετε το σώμα, πρέπει να αυξήσετε το μέγεθος της ασκούμενης δύναμης. Επιπλέον, σε αυτό το σώμα επιδρά η Γη με μια δύναμη βαρύτητας που κατευθύνεται κάθετα προς τα κάτω, καθώς και από έναν τοίχο με δύναμη αντίδρασης που κατευθύνεται οριζόντια προς τα αριστερά. Ας απεικονίσουμε στο σχήμα όλες τις δυνάμεις που δρουν στο σώμα. Ας πάρουμε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, οι άξονες του οποίου θα κατευθυνθούν όπως φαίνεται στο σχήμα. Για ένα σώμα σε ηρεμία, γράφουμε τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή:

Για τη διανυσματική ισότητα που βρέθηκε, γράφουμε τις ισότητες για τις προβολές των διανυσμάτων στους άξονες συντεταγμένων, λαμβάνουμε τις ακόλουθες εξισώσεις:

Σε μια ελάχιστη τιμή της εξωτερικής δύναμης, το μέγεθος της στατικής δύναμης τριβής φτάνει σε μια μέγιστη τιμή ίση με το μέγεθος της δύναμης τριβής ολίσθησης:

Από την ισότητα (3.1) βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης και το αντικαθιστούμε με ισότητα (3.3), λαμβάνουμε την ακόλουθη έκφραση για τη δύναμη τριβής:

Ας αντικαταστήσουμε τη δεξιά πλευρά αυτής της σχέσης αντί της δύναμης τριβής στην ισότητα (3.2) και λάβουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του μεγέθους της ασκούμενης δύναμης:

Από τον τελευταίο τύπο βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης:

Απάντηση: .

Ας απεικονίσουμε όλες τις δυνάμεις που δρουν σε μια μπάλα που κινείται κάθετα προς τα κάτω στον αέρα. Επιδρά πάνω του από τη Γη με τη δύναμη της βαρύτητας και τον αέρα με τη δύναμη της αντίστασης. Ας απεικονίσουμε τις δυνάμεις που εξετάζονται στο σχήμα. Στην αρχική χρονική στιγμή, το προκύπτον όλων των δυνάμεων έχει μια μέγιστη τιμή, αφού η ταχύτητα της μπάλας είναι μηδέν και η δύναμη αντίστασης είναι επίσης μηδέν. Αυτή τη στιγμή η μπάλα έχει μέγιστη επιτάχυνση ίση με . Καθώς η μπάλα κινείται, η ταχύτητά της αυξάνεται και, ως εκ τούτου, αυξάνεται η δύναμη της αντίστασης του αέρα. Σε κάποια χρονική στιγμή, η δύναμη αντίστασης φτάνει σε τιμή ίση με τη δύναμη της βαρύτητας. Από αυτό το χρονικό σημείο η μπάλα κινείται ομοιόμορφα. Ας γράψουμε τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή για την ομοιόμορφη κίνηση μιας μπάλας:

Ας κατευθύνουμε τον άξονα OY κάθετα προς τα κάτω. Για αυτή τη διανυσματική ισότητα, ας γράψουμε την ισότητα για τις προβολές των διανυσμάτων στον άξονα OY:

. (4.1)

Η δύναμη αντίστασης εξαρτάται από την περιοχή διατομής της μπάλας και το μέγεθος της ταχύτητάς της ως εξής:

, (4.2)

όπου είναι ο συντελεστής αναλογικότητας, που ονομάζεται συντελεστής αντίστασης.

Από τις ισότητες (4.1) και (4.2) προκύπτει η ακόλουθη σχέση:

. (4.3)

Ας εκφράσουμε τη μάζα της μπάλας μέσω της πυκνότητας και του όγκου της και τον όγκο, με τη σειρά της, μέσω της ακτίνας της μπάλας:

. (4.4)

Από αυτή την έκφραση βρίσκουμε τη μάζα και την αντικαθιστούμε με ισότητα (4.3), παίρνουμε την ακόλουθη ισότητα:

. (4.5)

Εκφράζουμε την περιοχή διατομής της μπάλας ως προς την ακτίνα της:

Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (4.6), η ισότητα (4.5) θα λάβει την ακόλουθη μορφή:

Ας υποδηλώσουμε ως την ακτίνα της πρώτης μπάλας. ως η ακτίνα της δεύτερης μπάλας. Ας γράψουμε τους τύπους για τις ταχύτητες σταθερής κίνησης της πρώτης και της δεύτερης μπάλας:

Από τις ισότητες που προέκυψαν βρίσκουμε τον λόγο ταχύτητας:

Από τις συνθήκες του προβλήματος, ο λόγος των ακτίνων των σφαιρών είναι ίσος με δύο. Χρησιμοποιώντας αυτή τη συνθήκη, βρίσκουμε την αναλογία ταχύτητας:

Απάντηση: .

Ένα σώμα που κινείται προς τα πάνω κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου δέχεται δράση από εξωτερικά σώματα: α) Γη με τη βαρύτητα που κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω. β) κεκλιμένο επίπεδο με δύναμη αντίδρασης κατευθυνόμενη κάθετα στο κεκλιμένο επίπεδο. γ) κεκλιμένο επίπεδο με δύναμη τριβής που στρέφεται ενάντια στην κίνηση του σώματος. δ) εξωτερικό σώμα με δύναμη κατευθυνόμενη προς τα πάνω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Υπό την επίδραση αυτών των δυνάμεων, το σώμα κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο προς τα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο και, επομένως, το διάνυσμα της επιτάχυνσης κατευθύνεται κατά μήκος της κίνησης του σώματος. Ας απεικονίσουμε το διάνυσμα της επιτάχυνσης στο σχήμα. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή:

Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, του οποίου ο άξονας OX κατευθύνεται κατά μήκος της επιτάχυνσης του σώματος και ο άξονας OY κατευθύνεται κάθετα στο κεκλιμένο επίπεδο. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε προβολές σε αυτούς τους άξονες συντεταγμένων και ας λάβουμε τις ακόλουθες εξισώσεις:

Η δύναμη τριβής ολίσθησης σχετίζεται με τη δύναμη αντίδρασης με την ακόλουθη σχέση:

Από την ισότητα (5.2) βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης και το αντικαθιστούμε με ισότητα (5.3), έχουμε την ακόλουθη έκφραση για τη δύναμη τριβής:

. (5.4)

Αντικαθιστώντας τη δεξιά πλευρά της ισότητας (5.4) με την ισότητα (5.1) αντί της δύναμης τριβής, λαμβάνουμε την ακόλουθη εξίσωση για τον υπολογισμό του μεγέθους της απαιτούμενης δύναμης:

Ας υπολογίσουμε το μέγεθος της δύναμης:

Απάντηση: .

Ας απεικονίσουμε όλες τις δυνάμεις που δρουν στα σώματα και στο μπλοκ. Ας εξετάσουμε τη διαδικασία κίνησης των σωμάτων που συνδέονται με ένα νήμα που ρίχνεται πάνω από ένα μπλοκ. Το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό, επομένως, το μέγεθος της δύναμης τάσης σε οποιοδήποτε τμήμα του νήματος θα είναι το ίδιο, δηλ. Και .

Οι μετατοπίσεις των σωμάτων σε οποιαδήποτε χρονική περίοδο θα είναι οι ίδιες και, επομένως, ανά πάσα στιγμή οι τιμές των ταχυτήτων και των επιταχύνσεων αυτών των σωμάτων θα είναι οι ίδιες. Από το γεγονός ότι το μπλοκ περιστρέφεται χωρίς τριβή και είναι αβαρές, προκύπτει ότι η δύναμη τάνυσης του νήματος και στις δύο πλευρές του μπλοκ θα είναι η ίδια, δηλ.: .

Αυτό συνεπάγεται την ισότητα των δυνάμεων τάσης του νήματος που δρουν στο πρώτο και το δεύτερο σώμα, δηλ. . Ας απεικονίσουμε στο σχήμα τα διανύσματα επιτάχυνσης του πρώτου και του δεύτερου σώματος. Ας απεικονίσουμε δύο άξονες OX. Ας κατευθύνουμε τον πρώτο άξονα κατά μήκος του διανύσματος επιτάχυνσης του πρώτου σώματος, ο δεύτερος - κατά μήκος του διανύσματος επιτάχυνσης του δεύτερου σώματος. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για κάθε σώμα σε προβολή σε αυτούς τους άξονες συντεταγμένων:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι , και εκφράζοντας από την πρώτη εξίσωση, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε

Από την τελευταία ισότητα βρίσκουμε την τιμή της επιτάχυνσης:

Από την ισότητα (1) βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης τάσης:

Απάντηση: , .

Καθώς ο μικρός δακτύλιος περιστρέφεται γύρω από την περιφέρειά του, δύο δυνάμεις ενεργούν πάνω του: η δύναμη της βαρύτητας, που κατευθύνεται κάθετα προς τα κάτω, και η δύναμη αντίδρασης, που κατευθύνεται προς το κέντρο του δακτυλίου. Ας απεικονίσουμε αυτές τις δυνάμεις στο σχήμα και ας δείξουμε επίσης σε αυτό την τροχιά του δακτυλίου. Το κεντρομόλο διάνυσμα επιτάχυνσης του δακτυλίου βρίσκεται στο επίπεδο της τροχιάς και κατευθύνεται προς τον άξονα περιστροφής. Ας το απεικονίσουμε στο σχήμα. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή για έναν περιστρεφόμενο δακτύλιο:

Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ο άξονας OX του οποίου θα κατευθύνεται κατά μήκος της κεντρομόλου επιτάχυνσης και ο άξονας OY - κατακόρυφα προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα περιστροφής. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε προβολές σε αυτούς τους άξονες συντεταγμένων:

Από την ισότητα (7.2) βρίσκουμε το μέγεθος της δύναμης αντίδρασης και το αντικαθιστούμε με ισότητα (7.1), παίρνουμε την έκφραση:

. (7.3)

Η κεντρομόλος επιτάχυνση σχετίζεται με την ταχύτητα περιστροφής ως εξής: , όπου είναι η ακτίνα περιστροφής του μικρού δακτυλίου. Αντικαθιστώντας τη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας με τον τύπο (7.3), λαμβάνουμε την ακόλουθη σχέση:

. (7.4)

Από το σχήμα βρίσκουμε την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας άλφα . Λαμβάνοντας υπόψη αυτήν την έκφραση, η ισότητα (7.4) θα έχει τη μορφή:

Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε το απαιτούμενο ύψος:

Απάντηση: .

Τρεις δυνάμεις δρουν σε ένα σώμα που περιστρέφεται με το δίσκο: βαρύτητα, δύναμη αντίδρασης και δύναμη τριβής που κατευθύνεται προς τον άξονα περιστροφής. Ας απεικονίσουμε όλες τις δυνάμεις στο σχήμα. Ας δείξουμε σε αυτό το σχήμα την κατεύθυνση του διανύσματος της κεντρομόλου επιτάχυνσης. Γράφουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διανυσματική μορφή:

Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε προβολές στους άξονες συντεταγμένων:

; (8.1)

. (8.2)

Ας γράψουμε τη σχέση για την κεντρομόλο επιτάχυνση:

. (8.3)

Ας αντικαταστήσουμε τη δεξιά πλευρά της ισότητας (8.3) αντί της κεντρομόλου επιτάχυνσης με την ισότητα (8.1), παίρνουμε:

. (8.4)

Από την ισότητα (8.4) είναι σαφές ότι το μέγεθος της δύναμης τριβής είναι ευθέως ανάλογο με την ακτίνα περιστροφής, επομένως, καθώς αυξάνεται η ακτίνα περιστροφής, αυξάνεται η δύναμη στατικής τριβής και σε μια ορισμένη τιμή η στατική δύναμη τριβής φτάνει σε ένα μέγιστη τιμή ίση με τη δύναμη τριβής ολίσθησης ().

Λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα (8.2), λαμβάνουμε εκφράσεις για τη μέγιστη στατική δύναμη τριβής:

Αντικαθιστώντας τη δεξιά πλευρά της ισότητας που προκύπτει αντί της δύναμης τριβής με την ισότητα (4), παίρνουμε την ακόλουθη σχέση:

Από αυτή την εξίσωση βρίσκουμε την οριακή τιμή της ακτίνας περιστροφής:

Απάντηση: .

Κατά τη διάρκεια της πτήσης μιας σταγόνας, δύο δυνάμεις ενεργούν πάνω της: η βαρύτητα και η δύναμη έλξης. Ας απεικονίσουμε όλες τις δυνάμεις στο σχήμα. Ας επιλέξουμε έναν κατακόρυφα κατευθυνόμενο άξονα ΟΥ, η αρχή του οποίου θα βρίσκεται στην επιφάνεια της Γης. Ας γράψουμε τη βασική εξίσωση της δυναμικής:

Προβάλλοντας την ισότητα στον άξονα OY, θα έχουμε την ακόλουθη σχέση:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της τελευταίας ισότητας με και ας πολλαπλασιάσουμε ταυτόχρονα και τις δύο πλευρές με , λαμβάνοντας υπόψη ότι, έχουμε την έκφραση:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της έκφρασης με , παίρνουμε τη σχέση:

Ενσωματώνουμε την τελευταία σχέση και λαμβάνουμε την εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο: .

Βρίσκουμε τη σταθερά από τις αρχικές συνθήκες ( ), λαμβάνουμε την επιθυμητή εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο:

Καθορίζουμε τη μέγιστη ταχύτητα από τη συνθήκη :

Απάντηση: ; .

Ας απεικονίσουμε στο σχήμα τις δυνάμεις που δρουν στον ξωτικό. Ας γράψουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε προβολές στους άξονες OX, OY και OZ

Επειδή , τότε για ολόκληρη την τροχιά της κίνησης της ροδέλας ισχύει ο τύπος για τη δύναμη τριβής, η οποία, λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα για το OZ, μετατρέπεται στη μορφή:

Λαμβάνοντας υπόψη αυτή τη σχέση, η ισότητα για τον άξονα OX θα λάβει τη μορφή

Προβάλλουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στην εφαπτομένη της τροχιάς του ξωτικού στο σημείο που εξετάζουμε και λαμβάνουμε τη σχέση:

πού είναι το μέγεθος της εφαπτομενικής επιτάχυνσης. Συγκρίνοντας τις δεξιές πλευρές των τελευταίων ισοτήτων, συμπεραίνουμε ότι .

Αφού και , τότε λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη σχέση έχουμε την ισότητα , η ολοκλήρωση της οποίας οδηγεί στην έκφραση , όπου είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Ας αντικαταστήσουμε στην τελευταία έκφραση , λαμβάνουμε την εξάρτηση της ταχύτητας από τη γωνία:

Ας προσδιορίσουμε τη σταθερά από τις αρχικές συνθήκες (όταν . ) . Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, καταγράφουμε την τελική εξάρτηση

Η ελάχιστη τιμή ταχύτητας επιτυγχάνεται όταν και το διάνυσμα ταχύτητας κατευθύνεται παράλληλα με τον άξονα OX και η τιμή του είναι ίση με .

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων παρέχει μια γενική μέθοδο για την επίλυση στατικών προβλημάτων. Από την άλλη πλευρά, η αρχή του d'Alembert επιτρέπει τη χρήση στατικών μεθόδων για την επίλυση δυναμικών προβλημάτων. Επομένως, εφαρμόζοντας αυτές τις δύο αρχές ταυτόχρονα, μπορούμε να αποκτήσουμε μια γενική μέθοδο για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής.

Ας εξετάσουμε ένα σύστημα υλικών σημείων στα οποία επιβάλλονται ιδανικές συνδέσεις. Αν προσθέσουμε τις αντίστοιχες αδρανειακές δυνάμεις σε όλα τα σημεία του συστήματος, εκτός από τις ενεργές δυνάμεις και τις αντιδράσεις αντίδρασης που δρουν σε αυτά, τότε σύμφωνα με την αρχή του d'Alembert, το προκύπτον σύστημα δυνάμεων θα είναι σε ισορροπία. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων σε αυτές τις δυνάμεις, παίρνουμε

Αλλά το τελευταίο άθροισμα κατά συνθήκη (98) είναι ίσο με μηδέν και τελικά θα είναι:

Από το ληφθέν αποτέλεσμα προκύπτει η ακόλουθη αρχή D'Alembert-Lagrange: όταν κινείται ένα μηχανικό σύστημα με ιδανικές συνδέσεις, σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων και όλων των αδρανειακών δυνάμεων σε οποιαδήποτε πιθανή κίνηση του συστήματος θα είναι ίσο με μηδέν.

Η εξίσωση (102), που εκφράζει αυτή την αρχή, ονομάζεται γενική εξίσωση της δυναμικής. Σε αναλυτική μορφή, η εξίσωση (102) έχει τη μορφή

Οι εξισώσεις (102) ή (103) μας επιτρέπουν να συνθέσουμε διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος.

Εάν το σύστημα είναι μια συλλογή ορισμένων στερεών σωμάτων, τότε για να συντάξουμε εξισώσεις είναι απαραίτητο να προσθέσουμε στις ενεργές δυνάμεις που δρουν σε κάθε σώμα μια δύναμη που εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε κέντρο ίση με το κύριο διάνυσμα των δυνάμεων αδράνειας και ένα ζεύγος με μια ροπή ίση με την κύρια ροπή των δυνάμεων αδράνειας σε σχέση με αυτό το κέντρο (ή μία από αυτές τις τιμές, βλ. § 134), και στη συνέχεια εφαρμόστε την αρχή των πιθανών κινήσεων.

Πρόβλημα 173. Σε έναν φυγόκεντρο ρυθμιστή που περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα με γωνιακή ταχύτητα c (Εικ. 362), το βάρος καθεμιάς από τις σφαίρες και είναι ίσο με το βάρος της ζεύξης ίσο με Q. Παραμέληση του βάρους των ράβδων , προσδιορίστε τη γωνία a if

Λύση. Προσθέτουμε φυγόκεντρες αδρανειακές δυνάμεις στις ενεργές δυνάμεις (η αδρανειακή δύναμη της σύζευξης θα είναι προφανώς ίση με μηδέν) και συνθέτουμε τη γενική δυναμική εξίσωση στη μορφή (103). Στη συνέχεια, υπολογίζοντας τις προβολές όλων των δυνάμεων στους άξονες συντεταγμένων, παίρνουμε

Οι συντεταγμένες των σημείων εφαρμογής των δυνάμεων είναι ίσες:

Διαφοροποιώντας αυτές τις εκφράσεις, βρίσκουμε:

Αντικαθιστώντας όλες τις τιμές που βρέθηκαν στην εξίσωση (α), παίρνουμε

Από εδώ επιτέλους

Δεδομένου ότι οι μπάλες θα αποκλίνουν όταν . Με την αύξηση της γωνίας a αυξάνεται, τείνει στις 90° στο

Πρόβλημα 174. Στον ανελκυστήρα που φαίνεται στο Σχ. 363, μια περιστρεφόμενη ροπή M εφαρμόζεται σε ένα γρανάζι που έχει βάρος και ακτίνα αδράνειας σε σχέση με τον άξονά του Προσδιορίστε την επιτάχυνση ενός ανυψωμένου φορτίου 3 με ένα βάρος Q, αγνοώντας το βάρος του σχοινιού και την τριβή στους άξονες. Το τύμπανο στο οποίο τυλίγεται το σχοινί είναι άκαμπτα συνδεδεμένο με άλλο εργαλείο. Το συνολικό βάρος τους είναι ίσο με , και η ακτίνα αδράνειας σε σχέση με τον άξονα περιστροφής Οι ακτίνες των γραναζιών είναι ίσες, αντίστοιχα, με την ακτίνα του τυμπάνου.

Λύση. Απεικονίζουμε την ενεργό δύναμη Q και τη ροπή M που ενεργούν στο σύστημα (οι δυνάμεις δεν λειτουργούν). προσθέτουμε σε αυτά την αδρανειακή δύναμη του φορτίου και το ζεύγος με ροπές και στην οποία μειώνονται οι αδρανειακές δυνάμεις των περιστρεφόμενων σωμάτων (βλ. § 134).

Ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας τη γενική εξίσωση της δυναμικής (αρχή D'Alembert–Lagrange) για ένα σύστημα με άκαμπτα σώματα, βάρη, τροχαλίες και ένα μπλοκ συνδεδεμένο με νήματα.

Περιεχόμενο

Το έργο

Το μηχανικό σύστημα αποτελείται από ομοιόμορφες βαθμιδωτές τροχαλίες 1 και 2 τυλιγμένες σε νήματα, βάρη 3-6 προσαρτημένα σε αυτά τα νήματα και ένα μπλοκ χωρίς βάρος. Το σύστημα κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο υπό την επίδραση της βαρύτητας και ενός ζεύγους δυνάμεων με ροπή M = 10 Nm, εφαρμόζεται στην τροχαλία 1. Οι ακτίνες των βημάτων της τροχαλίας 1 είναι ίσες με: R 1 = 0,2 m, r 1 = 0,1 m, και τροχαλία 2 - R 2 = 0,3 m, r 2 = 0,15 m; Οι ακτίνες περιστροφής τους σε σχέση με τους άξονες περιστροφής είναι ίσες με ρ, αντίστοιχα 1 = 0,1 mκαι ρ 2 = 0,2 m.

Παραμελώντας την τριβή, προσδιορίστε την επιτάχυνση του φορτίου 5. Δίνονται τα βάρη των τροχαλιών και των φορτίων: P 1 = 40 N, Π 2 = 0 , Π 3 = 0 , Π 4 = 20 N, Π 5 = 30 N, Π 6 = 10 N. Τα φορτία των οποίων το βάρος είναι ίσο με μηδέν δεν φαίνονται στο σχέδιο.

Σημείωση. Όταν λύνετε ένα πρόβλημα, χρησιμοποιήστε γενική εξίσωση δυναμικής (αρχή D'Alembert - Lagrange).

Η λύση του προβλήματος

Δεδομένος: R 1 = 0,2 m, r 1 = 0,1 m, Ρ 2 = 0,3 m, r 2 = 0,15 m, ρ 1 = 0,1 m, ρ 2 = 0,2 m. Π 1 = 40 N, Π 2 = 0 , Π 3 = 0 , Π 4 = 20 N, Π 5 = 30 N, Π 6 = 10 N, Μ = 10 Nm.

Εύρημα:ένα 5 .

Δημιουργία κινηματικών σχέσεων

Ας δημιουργήσουμε κινηματικές σχέσεις. Αφήστε το V 4 , V 5 , V 6 ,ένα 4 ,ένα 5 ,ένα 6 , δS 4 , δS 5 , δS 6 - ταχύτητες, επιταχύνσεις και μικρές κινήσεις φορτίων 4,5 και 6. Έστω ω 1 , ω 2 , ε 1 , ε 2 , δφ 1 , δφ 2 - γωνιακές ταχύτητες, γωνιακές επιταχύνσεις και μικρές γωνίες περιστροφής των τροχαλιών 1 και 2.

Ταχύτητα κίνησης νήματος μεταξύ των σωμάτων 2, 4 και 5:
. Από εδώ.
Ταχύτητα σπειρώματος μεταξύ των τροχαλιών 1 και 2:
. Από εδώ
.
Ταχύτητα κίνησης νήματος μεταξύ των σωμάτων 1 και 6:
.

Έτσι, βρήκαμε μια σύνδεση μεταξύ των ταχυτήτων των σωμάτων.
;
;
.

Δεδομένου ότι οι επιταχύνσεις είναι παράγωγοι ταχυτήτων σε σχέση με το χρόνο,
Στη συνέχεια, διαφοροποιώντας τους προηγούμενους τύπους σε σχέση με το χρόνο, βρίσκουμε τη σύνδεση μεταξύ των επιταχύνσεων:
;
;
.

Δεδομένου ότι οι ταχύτητες είναι παράγωγοι των κινήσεων στο χρόνο, η ίδια σύνδεση υπάρχει μεταξύ απειροελάχιστων κινήσεων.
;
;
.

Ενεργές εξωτερικές δυνάμεις

Ας εξετάσουμε τις εξωτερικές δυνάμεις που δρουν στο σύστημα.
Αυτές είναι οι δυνάμεις βαρύτητας των σωμάτων P 1 = 40 N, Π 4 = 20 N, Π 5 = 30 Nκαι π 6 = 10 N, με κατεύθυνση προς τα κάτω.
δεδομένο ζεύγος δυνάμεων με ροπή M = 10 Nm;
Δυνάμεις πίεσης Ν άξονα 1 , Ν 2 και N τροχαλίες 1, 2 και μπλοκ χωρίς βάρος.
δυνάμεις αντίδρασης Ν 4 και Ν 6 , που επενεργεί σε φορτία από επιφάνειες κάθετες σε αυτές τις επιφάνειες.

Δυνάμεις αδράνειας

Θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη γενική εξίσωση της δυναμικής, εφαρμόζοντας την αρχή D'Alembert-Lagrange. Βρίσκεται στο γεγονός ότι πρώτα εισάγουμε δυνάμεις αδράνειας. Μετά την εισαγωγή αδρανειακών δυνάμεων, το πρόβλημα της δυναμικής μετατρέπεται σε πρόβλημα στατικής. Δηλαδή πρέπει να βρούμε άγνωστες αδρανειακές δυνάμεις ώστε το σύστημα να βρίσκεται σε ισορροπία. Επιλύουμε αυτό το στατικό πρόβλημα χρησιμοποιώντας την αρχή του d'Alembert. Δηλαδή πιστεύουμε ότι το σύστημα έχει κάνει μια μικρή κίνηση. Τότε σε κατάσταση ισορροπίας, το άθροισμα του έργου που κάνουν όλες οι δυνάμεις κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας κίνησης είναι ίσο με μηδέν.

Έτσι, στο πρώτο στάδιο εμείς εισάγουν αδρανειακές δυνάμεις. Για να γίνει αυτό, υποθέτουμε ότι το σύστημα κινείται με κάποια, ακόμη απροσδιόριστη, επιτάχυνση. Δηλαδή οι τροχαλίες 1 και 2 περιστρέφονται με γωνιακές επιταχύνσεις ε 1 και ε 2 , αντίστοιχα? τα φορτία 4,5 και 6 εκτελούν μεταφορική κίνηση με επιταχύνσεις α 4 ,ένα 5 και ένα 6 , αντίστοιχα. Υπάρχουν συνδέσεις μεταξύ αυτών των επιταχύνσεων που βρήκαμε νωρίτερα. Δηλαδή, όλες αυτές οι επιταχύνσεις μπορούν να εκφραστούν μέσω μιας επιτάχυνσης α 5 . Οι δυνάμεις αδράνειας ορίζονται έτσι ώστε να είναι ίσες σε μέγεθος και αντίθετες ως προς τις δυνάμεις (και ροπές δυνάμεων) που, σύμφωνα με τους νόμους της δυναμικής, θα δημιουργούσαν τις αναμενόμενες επιταχύνσεις (ελλείψει άλλων δυνάμεων).

Προσδιορίζουμε τις μονάδες (απόλυτες τιμές) δυνάμεων και ροπών αδράνειας και τις εκφράζουμε μέσω α 5 .
Ας είναι οι μάζες των σωμάτων.
- ροπή αδράνειας της τροχαλίας 1.
Ροπή αδράνειας που ενεργεί στην τροχαλία 1:
.
Δυνάμεις αδράνειας που δρουν στα φορτία 4, 5 και 6:
;
;
.

Απεικονίζουμε τις αδρανειακές δυνάμεις στο σχέδιο, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι κατευθύνσεις τους είναι αντίθετες από τις επιταχύνσεις.

Εφαρμογή της γενικής εξίσωσης δυναμικής

Δίνουμε στο σύστημα μια απειροελάχιστη μετατόπιση. Αφήστε το φορτίο 5 να κινηθεί σε μικρή απόσταση δS 5 . Τότε η γωνία περιστροφής δφ 1 τροχαλία 1 και μετατόπιση δS 4 και δS 6 Τα φορτία 4 και 6 προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας προηγούμενες κινηματικές σχέσεις. Δεδομένου ότι τα νήματα είναι μη εκτατά, δεν λειτουργούν κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας κίνησης. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει ιδανικές συνδέσεις. Επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε τη γενική δυναμική εξίσωση:
,
σύμφωνα με την οποία το άθροισμα του έργου όλων των ενεργών δυνάμεων και των αδρανειακών δυνάμεων κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας κίνησης είναι ίσο με μηδέν.

Προσδιορισμός του αθροίσματος του έργου των εξωτερικών ενεργών δυνάμεων και των αδρανειακών δυνάμεων

Το έργο που κάνει μια δύναμη όταν μετακινεί το σημείο εφαρμογής της με μια μικρή μετατόπιση είναι ίση με το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, δηλαδή το γινόμενο των απόλυτων τιμών των διανυσμάτων F και ds με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους.

Η εργασία που γίνεται από τη ροπή υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο:
.

Καθορίζουμε το έργο όλων των ενεργών δυνάμεων και των αδρανειακών δυνάμεων. Δεδομένου ότι τα κέντρα των αξόνων των τροχαλιών 1, 2 και του αβαρούς μπλοκ δεν κινούνται, οι δυνάμεις Ρ 1 , Ν 1 , Ν 2 και το Ν δεν κάνουν δουλειά. Δεδομένου ότι οι δυνάμεις Ν 4 και Ν 6 είναι κάθετες στις κινήσεις των φορτίων 4 και 6, τότε αυτές οι δυνάμεις επίσης δεν λειτουργούν.

Βρίσκουμε το άθροισμα του έργου που έχουν κάνει οι υπόλοιπες ενεργές δυνάμεις και οι δυνάμεις αδράνειας.

.
Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις με δυνάμεις αδράνειας και εφαρμόζουμε κινηματικές σχέσεις.

.
Μείωση κατά δS 5 και μεταμορφώστε.

.
Αντικαταστήστε τις αριθμητικές τιμές.

;
;

Δυναμική:
Αναλυτική μηχανική
§ 47. Γενική εξίσωση δυναμικής

Προβλήματα με λύσεις

47.1 Τρεις μάζες μάζας Μ συνδέονται η καθεμία με ένα μη εκτατό νήμα που ρίχνεται μέσα από ένα σταθερό μπλοκ Α. Δύο μάζες βρίσκονται σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και η τρίτη μάζα αιωρείται κατακόρυφα. Προσδιορίστε την επιτάχυνση του συστήματος και την τάση του νήματος στο τμήμα αβ. Παραμελήστε τη μάζα του νήματος και μπλοκάρετε.
ΛΥΣΗ

47.2 Λύστε το προηγούμενο πρόβλημα λαμβάνοντας υπόψη τη μάζα του μπλοκ, υποθέτοντας ότι όταν κινούνται τα φορτία, το μπλοκ Α περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Η μάζα ενός μπλοκ στερεού ομοιογενούς δίσκου είναι 2Μ.
ΛΥΣΗ

47.3 Δύο μάζες M1 και M2 αιωρούνται σε δύο εύκαμπτα μη εκτατά νήματα, τα οποία τυλίγονται, όπως φαίνεται στο σχήμα, σε τύμπανα με ακτίνες r1 και r2 και στερεώνονται σε κοινό άξονα. τα φορτία κινούνται υπό την επίδραση της βαρύτητας. Προσδιορίστε τη γωνιακή επιτάχυνση ε των τυμπάνων, αγνοώντας τις μάζες τους και τη μάζα των νημάτων.
ΛΥΣΗ

47.4 Με δεδομένο το προηγούμενο πρόβλημα, προσδιορίστε τη γωνιακή επιτάχυνση ε και την τάση Τ1 και Τ2 των νημάτων, λαμβάνοντας υπόψη τις μάζες των τυμπάνων, με τα ακόλουθα δεδομένα: M1=20 kg, M2=34 kg, r1=5 cm, r2=10 cm; Βάρη τυμπάνων: μικρό 4 κιλά και μεγάλο 8 κιλά. Οι μάζες των τυμπάνων θεωρείται ότι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες στις εξωτερικές επιφάνειές τους.
ΛΥΣΗ

47.5 Τα ακόλουθα βάρη αιωρούνται από το σύστημα μπλοκ που φαίνεται στο σχήμα: M1 μάζας 10 kg και M2 μάζας 8 kg. Προσδιορίστε την επιτάχυνση w2 του φορτίου M2 και την τάση του νήματος, αγνοώντας τις μάζες των μπλοκ.
ΛΥΣΗ

47.6 Μια ροπή M εφαρμόζεται στην κάτω τροχαλία C ενός ανελκυστήρα Προσδιορίστε την επιτάχυνση ενός φορτίου A μάζας M1 που ανυψώνεται προς τα πάνω εάν η μάζα του αντίβαρου B είναι ίση με M2 και οι τροχαλίες C και D ακτίνας r και μάζας. Οι M3 είναι ο καθένας ομοιογενείς κύλινδροι. Παραμελήστε τη μάζα της ζώνης.
ΛΥΣΗ

47.7 Ο άξονας καπακιού ενός μηχανισμού για τη μετακίνηση φορτίων ακτίνας r κινείται από μια σταθερή ροπή M που εφαρμόζεται στη λαβή AB. Να προσδιορίσετε την επιτάχυνση ενός φορτίου C μάζας m αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του φορτίου σε οριζόντιο επίπεδο είναι ίσος με f. Παραμελήστε τη μάζα του σχοινιού και του καπακιού.
ΛΥΣΗ

47.8 Να λύσετε το προηγούμενο πρόβλημα λαμβάνοντας υπόψη τη μάζα ενός καπακιού, η ροπή αδράνειας του οποίου ως προς τον άξονα περιστροφής είναι ίση με J.
ΛΥΣΗ

47.9 Ένα φορτίο Α μάζας Μ1, που κατεβαίνει κατά μήκος ενός κεκλιμένου λείου επιπέδου που βρίσκεται υπό γωνία α προς την οριζόντια, προκαλεί το τύμπανο Β μάζας Μ2 και ακτίνας r να περιστρέφεται μέσω ενός μη εκτατού νήματος. Προσδιορίστε τη γωνιακή επιτάχυνση του τυμπάνου αν θεωρήσουμε ότι το τύμπανο είναι ομοιόμορφος στρογγυλός κύλινδρος. Παραμελήστε τη μάζα του ακίνητου μπλοκ C και του νήματος.
ΛΥΣΗ

47.10 Ένα άτομο σπρώχνει ένα κάρο, εφαρμόζοντας μια οριζόντια δύναμη F σε αυτό. fк είναι ο συντελεστής τριβής κύλισης. Οι τροχοί θεωρούνται συμπαγείς στρογγυλοί δίσκοι που κυλίονται σε ράγες χωρίς να γλιστρούν.
ΛΥΣΗ

47.11 Ο κύλινδρος Α μάζας M1, κυλιόμενος προς τα κάτω χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, ανυψώνει το φορτίο C μάζας M2 μέσω ενός μη εκτατού νήματος που ρίχνεται πάνω από το τετράγωνο Β. Στην περίπτωση αυτή, το μπλοκ Β περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα Ο, κάθετο στο επίπεδό του. Ο κύλινδρος Α και το μπλοκ Β είναι ομοιογενείς στρογγυλοί δίσκοι ίδιας μάζας και ακτίνας. Ένα κεκλιμένο επίπεδο σχηματίζει γωνία α με την οριζόντια. Προσδιορίστε την επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου. Παραμελήστε τη μάζα του νήματος.
ΛΥΣΗ

47.12 Ένα φορτίο Β μάζας Μ1 θέτει σε κίνηση έναν κυλινδρικό κύλινδρο Α μάζας M2 και ακτίνας r χρησιμοποιώντας ένα νήμα τυλιγμένο γύρω από τον κύλινδρο. Προσδιορίστε την επιτάχυνση του φορτίου Β εάν ο κύλινδρος κυλά χωρίς ολίσθηση και ο συντελεστής τριβής κύλισης είναι ίσος με fк. Αγνοήστε τη μάζα του μπλοκ D.
ΛΥΣΗ

47.13 Ράβδος DE μάζας M1 στηρίζεται σε τρεις κυλίνδρους A, B και C μάζας M2 ο καθένας. Μια δύναμη F εφαρμόζεται στη ράβδο οριζόντια προς τα δεξιά, αναγκάζοντας τη ράβδο και τους κυλίνδρους να κινηθούν. Δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ της ράβδου και των κυλίνδρων, καθώς και μεταξύ των κυλίνδρων και του οριζόντιου επιπέδου. Βρείτε την επιτάχυνση της ράβδου ΔΕ. Οι κύλινδροι θεωρούνται ομοιογενείς στρογγυλοί κύλινδροι.
ΛΥΣΗ

47.14 Προσδιορίστε την επιτάχυνση του φορτίου M2, που εξετάζεται στο πρόβλημα 47.5, λαμβάνοντας υπόψη τη μάζα των μπλοκ στερεών ομοιογενών δίσκων μάζας 4 kg το καθένα.
ΛΥΣΗ

47.15 Το φορτίο Α μάζας M1, πέφτοντας κάτω, μέσω ενός μη εκτατού νήματος που ρίχνεται μέσα από ένα ακίνητο μπλοκ D και τυλίγεται στην τροχαλία Β, αναγκάζει τον άξονα C να κυλήσει χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος μιας οριζόντιας σιδηροτροχιάς. Η τροχαλία Β ακτίνας R είναι στερεωμένη άκαμπτα στον άξονα C ακτίνας r. Η συνολική τους μάζα είναι ίση με Μ2 και η ακτίνα περιστροφής σε σχέση με τον άξονα Ο, κάθετη στο επίπεδο του σχήματος, είναι ίση με ρ. Βρείτε την επιτάχυνση του φορτίου Α. Παραμελήστε τη μάζα του νήματος και μπλοκάρετε.
ΛΥΣΗ

47.16 Ένας φυγόκεντρος ρυθμιστής περιστρέφεται γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Προσδιορίστε τη γωνία εκτροπής των λαβών OA και OB από την κατακόρυφο, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τη μάζα M καθεμιάς από τις σφαίρες και τη μάζα M1 της ζεύξης C όλες οι ράβδοι έχουν το ίδιο μήκος l.
ΛΥΣΗ

47.17 Ένας φυγόκεντρος ρυθμιστής περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Βρείτε τη σχέση μεταξύ της γωνιακής ταχύτητας του ρυθμιστή και της γωνίας α της εκτροπής των ράβδων του από την κατακόρυφο, εάν η σύζευξη μάζας Μ1 πιεστεί προς τα κάτω από ένα ελατήριο που είναι σε απαραμόρφωτη κατάσταση στο α = 0 και είναι σταθερό στο πάνω άκρο στον άξονα του ρυθμιστή. οι μάζες των σφαιρών είναι ίσες με M2, το μήκος των ράβδων είναι ίσο με l, οι άξονες ανάρτησης των ράβδων διαχωρίζονται από τον άξονα του ρυθμιστή σε απόσταση α. Παραμελήστε τις μάζες των ράβδων και των ελατηρίων. Η σταθερά του ελατηρίου είναι c.
ΛΥΣΗ

47.18 Ένας φυγοκεντρικός ρυθμιστής ελατηρίου αποτελείται από δύο μάζες Α και Β μάζας Μ η καθεμία, τοποθετημένες σε μια λεία οριζόντια ράβδο ζεύξης C μάζας M1 προσαρτημένη στον άξονα του ρυθμιστή, ράβδους μήκους l και ελατήρια που πιέζουν τις μάζες προς τον άξονα περιστροφής. η απόσταση των μεντεσέδων της ράβδου από τον άξονα του άξονα είναι ίση με e. c συντελεστής ακαμψίας ελατηρίου. Προσδιορίστε τη γωνιακή ταχύτητα του ελεγκτή στη γωνία ανοίγματος α, εάν στη γωνία α0, όπου α0ΛΥΣΗ

47.19 Στον ρυθμιστή, τέσσερα βάρη ίσης μάζας Μ1 βρίσκονται στα άκρα δύο μοχλών με ίσο βραχίονα μήκους 2l, οι οποίοι μπορούν να περιστρέφονται στο επίπεδο του ρυθμιστή γύρω από το άκρο της ατράκτου Ο και να σχηματίζουν μεταβλητή γωνία φ με το άξονας ατράκτου. Στο σημείο Α, που βρίσκεται από το άκρο της ατράκτου O σε απόσταση OA=a, οι μοχλοί AB και AC μήκους a συνδέονται περιστροφικά με την άτρακτο, οι οποίοι στα σημεία B και C αρθρώνονται με τη σειρά τους με ράβδους μήκους BD και CD α, ζεύξη μεταφοράς D. Στα σημεία Β και Γ έχουν ολισθητήρες που γλιστρούν κατά μήκος των βραχιόνων που φέρουν βάρη. Η μάζα της ζεύξης είναι M2. Ο ελεγκτής περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρείτε τη σχέση μεταξύ της γωνίας και της γωνιακής ταχύτητας ω στη θέση ισορροπίας του ελεγκτή.

Με βάση την αρχή του d'Alembert, ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

πού είναι η ενεργός δύναμη? - αντίδραση των συνδέσεων. – δύναμη αδράνειας του σημείου (Εικ. 3.36).

Πολλαπλασιάζοντας κλιμακωτά καθεμία από τις σχέσεις (3.45) με την πιθανή μετατόπιση του σημείου και αθροίζοντας όλα τα σημεία του συστήματος, παίρνουμε

(3.46)

Η ισότητα (3.46) είναι μια γενική εξίσωση δυναμικής για ένα μηχανικό σύστημα με οποιουσδήποτε περιορισμούς. Εάν οι συνδέσεις είναι ιδανικές, τότε και η έκφραση (3.46) παίρνει μία από τις μορφές:

Γενική εξίσωση δυναμικής (ενοποιημένη αρχή d’Alembert–Lagrange).Σε κάθε στιγμή κίνησης ενός συστήματος με ιδανικές συνδέσεις, το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων και των δυνάμεων αδράνειας των σημείων του συστήματος είναι ίσο με μηδέν σε κάθε πιθανή κίνηση του συστήματος.

Γενικευμένες συντεταγμένες

Αφήστε το σύστημα να αποτελείται από Νσημεία και η θέση του καθορίζεται από το 3 Νσυντεταγμένες των σημείων του συστήματος (Εικ. 3.37). επιβάλλεται στο σύστημα μεγάλο

ολονομικές αμφίδρομες συνδέσεις, οι εξισώσεις των οποίων μικρό=1,2,…,μεγάλο.

Άρα 3 Νσυνδεδεμένες συντεταγμένες μεγάλοεξισώσεις και ανεξάρτητες συντεταγμένες θα είναι n=3Ν-μεγάλο.

Οπως και nανεξάρτητες συντεταγμένες, μπορείτε να επιλέξετε οποιεσδήποτε ανεξάρτητες παραμέτρους

Ονομάζονται ανεξάρτητες παράμετροι που καθορίζουν μοναδικά τη θέση του συστήματος γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος.

Ρύζι. 3.37

Γενικά, είναι συναρτήσεις των καρτεσιανών συντεταγμένων των σημείων του συστήματος:

Μπορείτε να εκφράσετε τις καρτεσιανές συντεταγμένες με όρους γενικευμένων συντεταγμένων:

Για το διάνυσμα ακτίνας κάθε σημείου του συστήματος παίρνουμε

Εάν οι συνδέσεις είναι σταθερές, τότε ο χρόνος δεν θα μπει ρητά στο (3.47). Για ολονομικές συνδέσεις, το διάνυσμα πιθανής κίνησης ενός σημείου μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή:

Εάν οι συνδέσεις είναι ολονομικές, τότε ο αριθμός των ανεξάρτητων πιθανών κινήσεων (ή παραλλαγών) συμπίπτει με τον αριθμό των ανεξάρτητων γενικευμένων συντεταγμένων. Ως εκ τούτου, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ενός ολονομικού συστήματος είναι ίσος με τον αριθμό των ανεξάρτητων γενικευμένων συντεταγμένων αυτού του συστήματος, δηλ. n=3Ν-μεγάλο.

Για μη ολονομικά συστήματα, στη γενική περίπτωση, ο αριθμός των ανεξάρτητων παραλλαγών (πιθανές μετατοπίσεις) είναι μικρότερος από τον αριθμό των γενικευμένων συντεταγμένων. Επομένως, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ενός μη ολονομικού συστήματος, ίσος με τον αριθμό των ανεξάρτητων πιθανών μετατοπίσεων, είναι επίσης μικρότερος από τον αριθμό των γενικευμένων συντεταγμένων του συστήματος.

Οι παράγωγοι των γενικευμένων συντεταγμένων ως προς το χρόνο ονομάζονται γενικευμένες ταχύτητες και συμβολίζονται

Γενικευμένες δυνάμεις

Ρύζι. 3.38

Ορισμός γενικευμένων δυνάμεων. Σκεφτείτε ένα ολονομικό σύστημα από Νυλικά σημεία, έχοντας nβαθμούς ελευθερίας και υπό την επίδραση ενός συστήματος δυνάμεων (Εικ. 3.38). Καθορίζεται η θέση του συστήματος nγενικευμένες συντεταγμένες εκείνοι.

Διάνυσμα πιθανής κίνησης -

(3.48)

Ας υπολογίσουμε το άθροισμα των στοιχειωδών έργων των δυνάμεων που δρουν στο σύστημα στην πιθανή μετατόπιση του συστήματος:

(3.49)

Αντικαθιστώντας το (3.48) σε (3.49) και αλλάζοντας τη σειρά άθροισης, λαμβάνουμε

(3.50)

Κλιμωτή ποσότητα ονομάζεται η γενικευμένη δύναμη που σχετίζεται με τη γενικευμένη συντεταγμένη q i.

Διάσταση γενικευμένης δύναμης. Από τον τύπο (3.50) παίρνουμε τη διάσταση της γενικευμένης δύναμης [ Q]=[ΕΝΑ]/[q]. Εάν η γενικευμένη συντεταγμένη έχει τη διάσταση του μήκους, τότε η γενικευμένη δύναμη έχει τη διάσταση της δύναμης [N], αλλά αν η γενικευμένη συντεταγμένη είναι γωνία (διάσταση - 1), τότε η γενικευμένη δύναμη έχει τη διάσταση της ροπής δύναμης [ N×m].

Υπολογισμός γενικευμένων δυνάμεων. 1. Η γενικευμένη δύναμη μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που την καθορίζει:

Οπου F kx,Φυξ,F kz– προβολές δύναμης στους άξονες συντεταγμένων. x k,y yx,z k– συντεταγμένες του σημείου εφαρμογής δύναμης

2. Οι γενικευμένες δυνάμεις είναι συντελεστές για τις αντίστοιχες μεταβολές των γενικευμένων συντεταγμένων στην έκφραση για στοιχειώδες έργο (3.50):

3. Εάν ειπωθεί στο σύστημα μια πιθανή κίνηση τέτοια ώστε να αλλάζει μόνο μία γενικευμένη συντεταγμένη q jτότε από το (3.52) έχουμε

Δείκτης τσιστον αριθμητή υποδεικνύει ότι το άθροισμα της εργασίας υπολογίζεται σε μια πιθανή κίνηση κατά την οποία αλλάζει μόνο η συντεταγμένη (μεταβάλλεται) τσι.

4. Για πιθανές δυνάμεις:

(3.53)

πού είναι η συνάρτηση δύναμης.

Από την έκφραση (3.51), λαμβάνοντας υπόψη τις ισότητες (3.53), προκύπτει ότι

Ετσι,

πού είναι η δυναμική ενέργεια του συστήματος.

3.5.6. Γενική εξίσωση δυναμικής σε γενικευμένες δυνάμεις.
Προϋποθέσεις ισορροπίας δυνάμεων

Γενική εξίσωση δυναμικής (3,50)

Το διάνυσμα της πιθανής κίνησης σύμφωνα με το (3.48) είναι ίσο με

Λαμβάνοντας υπόψη αυτήν την έκφραση, η γενική εξίσωση της δυναμικής παίρνει τη μορφή

Ας το μετατρέψουμε αλλάζοντας τη σειρά άθροισης

(3.54)

Εδώ – γενικευμένη δύναμη ενεργών δυνάμεων που αντιστοιχεί στη γενικευμένη συντεταγμένη τσι; – γενικευμένη αδρανειακή δύναμη που αντιστοιχεί στη γενικευμένη συντεταγμένη τσι.Τότε η εξίσωση (3.54) παίρνει τη μορφή

Οι αυξήσεις των γενικευμένων συντεταγμένων είναι αυθαίρετες και ανεξάρτητες μεταξύ τους. Επομένως, οι συντελεστές για αυτούς στην τελευταία εξίσωση πρέπει να είναι ίσοι με μηδέν:

(3.55)

Αυτές οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες με τη γενική εξίσωση της δυναμικής.

Εάν οι δυνάμεις που ασκούνται σε ένα μηχανικό σύστημα είναι ισοδύναμες με μηδέν, δηλ. Εάν ένα μηχανικό σύστημα κινείται ομοιόμορφα σε ευθεία γραμμή ή διατηρεί σε κατάσταση ηρεμίας, τότε οι δυνάμεις αδράνειας των σημείων του είναι ίσες με μηδέν. Κατά συνέπεια, οι γενικευμένες δυνάμεις αδράνειας του συστήματος είναι ίσες με μηδέν , τότε οι εξισώσεις (3.55) παίρνουν τη μορφή