Линии второго порядка. Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность. Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка

Скачать с Depositfiles

Лекция № 9. Тема 3 : Линии второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана линия, определяемая уравнением второй степени

где коэффициенты
одновременно не равны нулю. Эта линия назы-вается кривой или линией второго порядка .

Может случиться, что нет точек
с действительными коорди-натами, удовлетворяющими уравнению (1). В этом случае считают, что уравнение (1) определяет мнимую линию второго порядка. Например,
 это уравнение мнимой окружности.

Рассмотрим три важных частных случаев уравнения (1).

3.1. Эллипс

Эллипс определяется уравнением

(2)

Коэффициенты а и b называются соответственно большой и малой полуосями, а уравнение (2) – каноническим уравнением эллипса.

Положим
и отметим на оси Ох точки

называемые фокусами эллипса. Тогда эллипс можно определить как

геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2а .

у

b

M K

— а F 1 O F 2 a x

— b

Покажем это. Пусть точка
 текущая точка эллипса. В этом случае получаем Тогда должно выполняться равенство

Выражение (3) представим в виде

и возведём в квадрат обе части выражения

Отсюда получаем

Еще раз возведём это выражение в квадрат и воспользуемся соотно-шением
, тогда

(4)

Разделив обе части выражения (4) на
, окончательно получаем каноническое уравнение эллипса

Исследуем уравнение (2). Если в уравнении заменить , то уравнение (2) не изменится. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим подробно часть эллипса, находящуюся в первой четверти. Она определяется уравнением
Очевидно, что эллипс проходит через точки
. Выполнив схематическое построение в первой четверти, симметрично отобразим его график во все четверти. Таким образом, эллипс является непрерывной замкнутой кривой. Точки называются вершинами эллипса.

Отношение
называется эксцентриситетом эллипса. Для эллипса
.

Прямые
называются директрисами эллипса.

Справедливо следующее свойство директрис :

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Доказывается аналогично, как и равенство (3).

Замечание 1. Окружность
является частным случаем эллипса. Для неё

3.2. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями.

Положив
, отметим на оси Ох точки
на-зываемые фокусами гиперболы. Тогда гиперболу можно определить как

геометрическое место точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине равна 2 а , т.е.

у

К М

F 1 —а О а F 2 х

Доказывается аналогично, как и для эллипса. По виду уравнения гиперболы так же заключаем, что её график симметричен относительно осей системы координат. Часть гиперболы, лежащая в первой четверти, имеет уравнение
Из этого уравнения видно, что при достаточно больших х гипербола близка к прямой
. После схематичного построения в первой четверти симметрично отобра-жаем график во все четверти.

Точки
называются вершинами гиперболы. Прямые
называются асимптотами – это прямые, к которым стремятся ветви гиперболы, не пересекая их.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для гиперболы
.

Прямые называются директрисами гиперболы. Для директрис гиперболы имеет место свойство, аналогичное, как и для директрис эллипса.

Пример. Найти уравнение эллипса, вершины которого находятся в фокусах, а фокусы в вершинах гиперболы
.

По условию
а

Окончательно получаем

10.3. Парабола

Парабола определяется каноническим уравнением
т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициент р называется К у

фокальным параметром. М

Отметим на оси Ох точку

называемую фокусом

 эллипс;

 парабола;

 гипербола .

11.1. Основные понятия

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Коэффициенты уравнения - действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

11.2. Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке называется множе­ство всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка в прямоугольной системе координат имеет координаты x 0 , y 0 а - произвольная точка окружности (см. рис. 48).

Тогда из условия получаем уравнение

(11.2)

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности

В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат .

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1) коэффициенты при x 2 и у 2 равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение xу текущих координат.

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения и , получим

Преобразуем это уравнение:

(11.4)

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии . Ее центр находится в точке , а радиус

.

Если же , то уравнение (11.3) имеет вид

.

Ему удовлетворяют координаты единственой точки . В этом случае говорят: “окружность выродилась в точку” (имеет нулевой радиус).

Если , то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определят никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая – не отрицательная (говорять: “окружность мнимая”).

11.3. Эллипс

Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 , расстояние между ними через 2c , а сумму расстояний от произ­вольной точки эллипса до фокусов - через 2a (см. рис. 49). По определению 2a > 2c , т. е. a > c .

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка F 1 F 2 . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и .

Пусть - произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е.

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

Так как a >с , то . Положим

(11.6)

Тогда последнее уравнение примет вид или

(11.7)

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническимуравнением эллипса .

Эллипс - кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки ,,. Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки и , в которых ось пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) , находим точки пересечения эллипса с осью : и . Точки A 1 , A 2 , B 1 , B 2 называются вершинами эллипса . Отрезки A 1 A 2 и B 1 B 2 , а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно боль­шой и малой полуосями эллипса.

3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и . Следовательно, все точки эллипса.лежаї внутри прямоугольника, образованного прямыми .

4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если возрастает, то уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения . При эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением . Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и o6oзначается буквой ε («эпсилон»):

причем 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.

Пусть М(х;у) -- произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2 (см. рис. 51). Длины отрезков F 1 M=r 1 и F 2 M = r 2 называются фокальными радиусами точ­ки Μ. Очевидно,

Имеют место формулы

Прямые называются

Теорема 11.1. Если - расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

Из равенства (11.6) следует, что . Если же , то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось - на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .

11.4. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 расстояние между ними через 2с , а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2a . По определению 2a < 2с , т. е. a < c .

Для вывода уравнения гиперболы выберем си­стему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси , а начало координат совпало с серединой отрезка F 1 F 2 (см. рис. 53). Тогда фокусы будут иметь координаты и

Пусть - произвольная точка гиперболы. Тогда согласно опре­делению гиперболы или , т.е.. После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

(11.9)

(11.10)

Гипербола есть линия второго порядка.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравнением.

1. Уравнение (11.9) содержит x и у только в четных степенях. Сле­довательно, гипербола симметрична относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью : и . Положив в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки и называются вершинами гиперболы, а отрезок

действительной осью , отрезок - действительной полуосью гиперболы.

Отрезок , соединяющий точки и называется мнимой осью , число b - мнимой полуосью . Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы .

3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое не меньше единицы т. е. что или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда возрастает, то и воз­растает. Это следует из того, что разность сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K до этой прямой стремится к ну­лю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты:

(11.11)

Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка на гиперболе (см.рис. 56), и найдем разность ΜΝ между ордина­тами прямой и ветви гиперболы:

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель - есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка ΜΝ стремится к нулю. Так как ΜΝ больше расстояния d от точки Μ до прямой, то d и подавно стремится к ну­лю. Итак, прямые являются асимптотами гиперболы (11.9).

При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, - асимптоты гиперболы и отметить вершины и , гиперболы.

Уравнение равносторонней гиперболы.

асимптотами которой служат оси координат

Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны (). Ее каноническое уравнение

(11.12)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения и и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.

Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой си­стеме координат (см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат на угол . Используем формулы поворота осей координат:

Подставляем значения х и у в уравнение (11.12):

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид .

Дополнительные сведения о гиперболе

Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается ε:

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Дей­ствительно, из равенства (11.10) следует, что т.е. и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение - ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,

Фокальные радиусы и для то­чек правой ветви гиперболы имеют вид и , а для левой - и .

Прямые - называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы ε > 1, то . Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая - между центром и левой вершиной.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса.

Кривая, определяемая уравнением также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2a - на оси Ох. На рисунке 59 она изображена пунктиром.

Очевидно, что гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

11.5. Парабола

Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директри­сой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид , или .

1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью сим­метрии параболы.

2. Так как ρ > 0, то из (11.13) следует, что . Следовательно, парабола рас­положена справа от оси Оу.

3. При имеем у = 0. Следователь­но, парабола проходит через начало коор­динат.

4. При неограниченном возрастании x модуль у также неограниченно возраста­ет. Парабола имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точ­ка О(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

Уравнения , , (p>0 ) также определяют параболы, они изображены на рисунке 62

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена , где , B и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

11.6. Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны a и b . Поместим в центре эллипса O 1 начало новой системы координат , оси которой и полуосями a и b (см. рис. 64):

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответству­ющие уравнения.

Уравнение

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 11.2 . Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А · С > 0), либо гиперболу (при А · С < 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Общее уравнение второго порядка

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвест­ными:

Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат (B¹ 0). Можно, путем поворота координатных осей на угол a , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

Используя формулы поворота осей

выразим старые координаты через новые:

Выберем угол a так, чтобы коэффициент при х" · у" обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство

Таким образом, при повороте осей на угол а, удовлетворяющий условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).

Вывод : общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Замечание: Если А = С, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом случае cos2α = 0 (см. (11.16)), тогда 2α = 90°, т. е. α = 45°. Итак, при А = С систему координат следует повернуть на 45°.

1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости.

2. Инварианты уравнений линий второго порядка.

3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.

4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.

5. Центры линий второго порядка.

6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка.

7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.

8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости.

Определение:

Евклидова плоскость – это пространство размерности 2,

(двумерное вещественное пространство).

Линии второго порядка представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести проис­ходит по одной из этих линий.

Если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится ли­ния, называемая эллипсом (рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении по­лучится линия, называемая гиперболой (рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих ко­нуса (на 1.1, в - это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий.

Рисунок 1.1

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

(1)

(1*)

Эллипсом называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фо­кусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Оче­видно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на­чало О декартовой системы координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F 1 и F 2 совпадают, то О совпадает с F 1 и F 2 , а за ось Ох можно взять лю­бую ось, проходящую через О).

Пусть длина отрезка F 1 F 2 F 1 и F 2 соответствен­но имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоян­ную, о которой говорится в опреде­лении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с ( Если М - точка эллипса (см. рис. 1.2), то | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , а так как сумма двух сторон MF 1 и MF 2 треугольника MF 1 F 2 больше третьей стороны F 1 F 2 = 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F 1 F 2 и эллипс вырождается в отрезок.).

Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1.2). Обозначим через r 1 и r 2 расстояния от точки М до точек F 1 и F 2 соответственно. Со­гласно определению эллипса равенство

r 1 + r 2 = 2а (1.1)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.

Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

(1.2)

Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение

(1.3)

представляет собой необходимое и достаточное условие распо­ложения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. По­этому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.4) (1.5)

Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). По­скольку при алгебраических преобразованиях, связанных с изба­влением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы дол­жны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величи­ны r 1 и r 2 для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравне­нию (1.4). Подставляя значение у 2 из (1.4) в правую часть вы­ражения (1.2) для г 1 после несложных преобразований найдем, что

, тогда .

Совершенно аналогично найдем, что

. Таким обра­зом, для рассматриваемой точки М , (1.6)

т. е.r 1 + r 2 = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объяс­няется тем, что а>Ь).

Замечание . Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R = a = b , а центр совпадает с началом координат.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина раз­ности расстояний до двух фиксированных точек, F 1 и F 2 этой пло­скости, называемых фокусами, есть величина постоянная ( Фокусы F 1 и F 2 гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпаденииF 1 и F 2 , которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F 1 совпадает с F 2 , то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).

Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу на­правим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F 1 F 2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 и F 2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гипер­болы. Очевидно, 2a< 2с, т. е. a < с. Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), получен­ное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r 1 и r 2 удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r 1 и r 2 следующие выражения:

(1.11)

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем

, и поэтому она располагается на гиперболе.

Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением ги­перболы. Величины а и b называются соответственно действи­тельной и мнимой полуосями гиперболы.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до не­которой фиксированной прямой, также расположенной в рас­сматриваемой плоскости.

Уравнения кривых в большом количестве встречаются при чтении экономической литературы.Укажем некоторые из этих кривых.

Кривая безразличия - кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета - кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей - кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса - кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филлипса - кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера - кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и анализировать уравнения кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми, уравнения которых заданы.Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств, уравнения которых даны. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной уравнениями системы неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической . Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1 0 . Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0. (2.1)

Вектор n (А,В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю.

2 0 . Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y - y o = k (x - x o), (2.2)

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a , где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x o , y o) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение (2.2) принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.

3 0 . Уравнение прямой в отрезках

x/a + y/b = 1, (2.3)

где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4 0 . Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x 1 , y 1) и B(x 2 , y 2):

. (2.4)

5 0 . Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x 1 , y 1) параллельно данному вектору a (m, n)

. (2.5)

6 0 . Нормальное уравнение прямой

rn о - р = 0, (2.6)

где r - радиус- произвольной точки M(x, y) этой прямой, n о - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное в координатной форме имеет вид:

x cos a + y sin a - р = 0,

где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx.

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x 1 , y 1) имеет вид:

y-y 1 = l (x-x 1),

где l - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, то его уравнение имеет вид:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

где l и m - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k 1 x + b 1 задается формулой:

tg j = .

Равенство 1 + k 1 k = 0 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2.

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если A 1 /A 2 = B 1 /B 2 и B 1 /B 2 ¹ C 1 /C 2; прямые пересекаются, если A 1 /A 2 ¹ B 1 /B 2 .

Расстояние d от точки M о (x о, y о) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки M о к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = ê r о n о - р ê , где r о - радиус-вектор точки M о или, в координатной форме, d = ê x о cos a + y о sin a - р ê .

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов уравнения a 11 , a 12 , a 22 есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F 1 и F 2 (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат. Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Пусть a>b, тогда фокусы F 1 и F 2 находятся на оси Оx на расстоянии
c= от начала координат. Отношение c/a = e < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Если же a < b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Если a = b, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса a .

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек F 1 и F 2 (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2a.

Каноническое уравнение гиперболы

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Оx в точках A (a,0) и A (-a,0) - вершинах гиперболы и не пересекает ось Оy. Параметр a называется вещественной полуосью , b - мнимой полуосью . Параметр c= есть расстояние от фокуса до начала координат. Отношение c/a = e >1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, уравнения которых y = ± b/a x называются асимптотами гиперболы. Расстояния от точки M(x,y) гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней , ее уравнение x 2 - y 2 = a 2 , а уравнение асимптот y = ± x. Гиперболы x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 и
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 называются сопряженными .

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) y 2 = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx.

2) x 2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.

В обоих случаях р>0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола, уравнение которой y 2 = 2рx имеет фокус F(р/2,0) и директрису x = - р/2, фокальный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.

Парабола, уравнение которой x 2 =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = - р/2; фокальный радиус-вектор точки M(x,y) параболы равен r = y + р/2.

Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Иными словами, линия
F(x, y)=0 отделяет часть плоскости, где F(x, y)>0, от части плоскости, где F(x, y)<0.

Прямая, уравнение которой Ax+By+C = 0, разбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой, уравнение которой Ax+By+C = 0) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Ax+By+C. Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости Ax+By+C имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Его можно переписать в виде (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Уравнение (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 задает окружность с центром в точке C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр C(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство
x 2 -4x+y 2 +6y-12 < 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Пример 1.5. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45 o .

Решение. Будем искать в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, Þ b=1-3k. Величина угла между прямыми
y= k 1 x+b 1 и y= kx+b определяется формулой tg j = . Так как угловой коэффициент k 1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол j = 45 o , то имеем уравнение для определения k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Имеем два значения k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Находя соответствующие значения b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые, уравнения которых: x - 5y + 2 = 0 и
5x + y - 16 = 0.

Пример 1.6 . При каком значении параметра t прямые, уравнения которых 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x-2ty = 0, параллельны?

Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая полученное уравнение, находим t : t 1 = 2, t 2 = -2/3.

Пример 1.7 . Найти уравнение общей хорды двух окружностей:
x 2 +y 2 =10 и x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Решение. Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:

Решая первое уравнение, находим значения x 1 = 3, x 2 = 1. Из второго уравнения - соответствующие значения y : y 1 = 1, y 2 = 3. Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и B(1,3), принадлежащие этой прямой: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), или y+ x - 4 = 0.

Пример 1.8 . Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям (x-3) 2 + (y-3) 2 < 8, x > y?

Решение. Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса . Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой, уравнение которой x = y, причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область - внутренность полукруга.

Пример 1.9. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс, уравнение которого x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

Решение. Пусть М(с, с) - вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона квадрата будет равна 2с . Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, откуда
c = ab/ ; значит, сторона квадрата - 2ab/ .

Пример 1.10. Зная уравнение асимптот гиперболы y = ± 0,5 x и одну из ее точек М(12, 3 ), составить уравнение гиперболы.

Решение. Запишем каноническое уравнение гиперболы: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = ± 0,5 x, значит, b/a = 1/2, откуда a=2b. Поскольку М - точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Учитывая, что a = 2b, найдем b: b 2 =9 Þ b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы - x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Пример 1.11. Вычислить длину стороны правильного треугольника ABC, вписанного в параболу с параметром р , предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы.

Решение. Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид y 2 = 2рx, вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так как прямая AB образует с осью Ox угол в 30 o , то уравнение прямой имеет вид: y = x.большим количеством графиков

Следовательно, мы можем найти координаты точки B, решая систему уравнений y 2 =2рx, y = x, откуда x = 6р, y = 2 р. Значит, расстояние между точками A(0,0) и B(6р,2 р) равно 4 р.

Установим на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени

в котором
.

Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (8.4.1), называется кривой (линией ) второго порядка .

Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов:

1)
(эллипс);

2)
(мнимый эллипс);

3)
(пара мнимых пересекающихся прямых);

4)
(гипербола);

5)
(пара пересекающихся прямых);

6)
(парабола);

7)
(пара параллельных прямых);

8)
(пара мнимых параллельных прямых);

9)
(пара совпадающих прямых).

Уравнения 1)–9) называются каноническими уравнениями кривых второго порядка.

Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает нахождение канонического уравнения кривой и канонической системы координат. Приведение к каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение относительно исходной системы координат. Переход от исходной прямоугольной системы координат
к канонической
осуществляется путем поворота осей исходной системы координат вокруг точкиО на некоторый угол  и последующего параллельного переноса системы координат.

Инвариантами кривой второго порядка (8.4.1) называются такие функции от коэффициентов ее уравнения, значения которых не меняются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой такой же системе.

Для кривой второго порядка (8.4.1) сумма коэффициентов при квадратах координат

,

определитель, составленный из коэффициентов при старших членах

и определитель третьего порядка

являются инвариантами.

Значение инвариантов s, ,  можно использовать для определения типа и составления канонического уравнения кривой второго порядка (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Классификация кривых второго порядка, основанная на инвариантах

Рассмотрим подробнее эллипс, гиперболу и параболу.

Эллипсом (рис. 8.1) называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек
этой плоскости, называемыхфокусами эллипса , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Полусумму расстояний от точки эллипса до его фокусов обозначают через а , половину расстояний между фокусами – с . Если прямоугольная система координат на плоскости выбрана так, что фокусы эллипса располагаются на оси О x симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат эллипс задается уравнением

, (8.4.2)

называемым каноническим уравнением эллипса , где
.

Рис. 8.1

При указанном выборе прямоугольной системы координат эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат. Оси симметрии эллипса называют его осями , а центрего симметрии – центром эллипса . Вместе с тем часто осями эллипса называют числа 2a и 2b , а числа a и b – большой и малой полуосью соответственно.

Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса . Вершины эллипса имеют координаты (а , 0), (–а , 0), (0, b ), (0, –b ).

Эксцентриситетом эллипса называется число

. (8.4.3)

Поскольку 0  c < a , эксцентриситет эллипса 0   < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе  к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении  эллипс становится более вытянутым.

Пусть
– произвольная точка эллипса,
и
– расстояния от точкиМ до фокусов F 1 и F 2 соответственно. Числа r 1 и r 2 называются фокальными радиусами точки М эллипса и вычисляются по формулам

Директрисами отличного от окружности эллипса с каноническим уравнением (8.4.2) называются две прямые

.

Директрисы эллипса расположены вне эллипса (рис. 8.1).

Отношение фокального радиуса точки M эллипса к расстоянию  этого эллипса (фокус и директриса считаются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра эллипса).

Гиперболой (рис. 8.2) называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек иэтой плоскости, называемыхфокусами гиперболы , есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Пусть расстояние между фокусами равно 2с , а указанный модуль разности расстояний равен 2а . Выберем прямоугольную систему координат так же, как и для эллипса. В этой системе координат гипербола задается уравнением

, (8.4.4)

называемым каноническим уравнением гиперболы , где
.

Рис. 8.2

При данном выборе прямоугольной системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Оси симметрии гиперболы называют ее осями , а центр симметрии – центром гиперболы . Прямоугольник со сторонами 2a и 2b , расположенный, как показано на рис. 8.2, называется основным прямоугольником гиперболы . Числа 2a и 2b – оси гиперболы, а числа a и b – ее полуоси . Прямые, являющиеся продолжением диагоналей основного прямоугольника, образуют асимптоты гиперболы

.

Точки пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы . Вершины гиперболы имеют координаты (а , 0), (–а , 0).

Эксцентриситетом гиперболы называется число

. (8.4.5)

Поскольку с > a , эксцентриситет гиперболы  > 1. Перепишем равенство (8.4.5) в виде

.

Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму основного прямоугольника и, следовательно, форму самой гиперболы: чем меньше , больше вытягивается основной прямоугольник, а вслед за ним и сама гипербола вдоль оси Ox .

Пусть
– произвольная точка гиперболы,
и
– расстояния от точкиМ до фокусов F 1 и F 2 соответственно. Числа r 1 и r 2 называются фокальными радиусами точки М гиперболы и вычисляются по формулам

Директрисами гиперболы с каноническим уравнением (8.4.4) называются две прямые

.

Директрисы гиперболы пересекают основной прямоугольник и проходят между центром и соответствующей вершиной гиперболы (рис. 8.2).

Отношение фокального радиусаточки M гиперболы к расстоянию от этой точки до отвечающей фокусудиректрисы равно эксцентриситету  этой гиперболы (фокус и директриса считаются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра гиперболы).

Параболой (рис. 8.3) называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F (фокуса параболы ) этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой (директрисы параболы ), также расположенной в рассматриваемой плоскости.

Выберем начало О прямоугольной системы координат в середине отрезка [FD ], представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису (предполагается, что фокус не принадлежит директрисе), а оси Ox и Oy направим так, как показано на рис. 8.3. Пусть длина отрезка [FD ] равна p . Тогда в выбранной системе координат
иканоническое уравнение параболы имеет вид

. (8.4.6)

Величина p называется параметром параболы .

Парабола имеет ось симметрии, которая называется осью параболы . Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы . Если парабола задана своим каноническим уравнением (8.4.6), то осью параболы является ось Ox . Очевидно, вершиной параболы является начало координат.

Пример 1. Точка А = (2, –1) принадлежит эллипсу, точка F = (1, 0) является его фокусом, соответствующая F директриса задана уравнением
. Составьте уравнение этого эллипса.

Решение. Будем считать систему координат прямоугольной. Тогда расстояние от точкиА до директрисы
в соответствии с соотношением (8.1.8), в котором


, равно

.

Расстояние от точкиА до фокуса F равно

,

что позволяет определить эксцентриситет эллипса

.

Пусть M = (x , y ) – произвольная точка эллипса. Тогда расстояние
от точкиМ до директрисы
по формуле (8.1.8) равно

а расстояние от точкиМ до фокуса F равно

.

Поскольку для любой точки эллипса отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, отсюда имеем

,

Пример 2. Кривая задана уравнением

в прямоугольной системе координат. Найдите каноническую систему координат и каноническое уравнение этой кривой. Определите тип кривой.

Решение. Квадратичная форма
имеет матрицу

.

Ее характеристический многочлен

имеет корни  1 = 4 и  2 = 9. Следовательно, в ортонормированном базисе из собственных векторов матрицы А рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид

.

Перейдем к построению матрицы ортогонального преобразования переменных, приводящего рассматриваемую квадратичную форму к указанному каноническому виду. Для этого будем строить фундаментальные системы решений однородных систем уравнений
и ортонормировать их.

При
эта система имеет вид

Ее общим решением является
. Здесь одна свободная переменная. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, из вектора
. Нормируя его, получим вектор

.

При
также построим вектор

.

Векторы иуже ортогональны, так как относятся к различным собственным значениям симметричной матрицыА . Они составляют канонический ортонормированный базис данной квадратичной формы. Из столбцов их координат строится искомая ортогональная матрица (матрица поворота)

.

Проверим правильность нахождения матрицы Р по формуле
, где
– матрица квадратичной формы в базисе
:

Матрица Р найдена верно.

Выполним преобразование переменных

и запишем уравнение данной кривой в новой прямоугольной системе координат со старым центром и направляющими векторами
:

где
.

Получили каноническое уравнение эллипса

.

В силу того, что результирующее преобразование прямоугольных координат определяется формулами

,

,

каноническая система координат
имеет начало
и направляющие векторы
.

Пример 3. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой

Решение. Поскольку

,

в соответствии с табл. 8.1 заключаем, что это – гипербола.

Так как s = 0, характеристический многочлен матрицы квадратичной формы

Его корни
и
позволяют записать каноническое уравнение кривой

где С находится из условия

,

.

Искомое каноническое уравнение кривой

.

В задачах этого параграфа координаты x , y предполагаются прямоугольными.

8.4.1. Для эллипсов
и
найдите:

а) полуоси;

б) фокусы;

в) эксцентриситет;

г) уравнения директрис.

8.4.2. Составьте уравнения эллипса, зная его фокус
, соответствующую директрисуx = 8 и эксцентриситет . Найдите второй фокус и вторую директрису эллипса.

8.4.3. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (1, 0) и (0, 1), а большая ось равна двум.

8.4.4. Дана гипербола
. Найдите:

а) полуоси a и b ;

б) фокусы;

в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот;

д) уравнения директрис.

8.4.5. Дана гипербола
. Найдите:

а) полуоси а и b ;

б) фокусы;

в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот;

д) уравнения директрис.

8.4.6. Точка
принадлежит гиперболе, фокус которой
, а соответствующая директриса задана уравнением
. Составьте уравнение этой гиперболы.

8.4.7. Составьте уравнение параболы, если даны ее фокус
и директриса
.

8.4.8. Даны вершина параболы
и уравнение директрисы
. Составьте уравнение этой параболы.

8.4.9. Составьте уравнение параболы, фокус которой находится в точке

и директриса задана уравнением
.

8.4.10. Составьте уравнение кривой второго порядка, зная ее эксцентриситет
, фокус
и соответствующую директрису
.

8.4.11. Определите тип кривой второго порядка, составьте ее каноническое уравнение и найдите каноническую систему координат:

г)
;

8.4.12.

является эллипсом. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей и директрис.

8.4.13. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

является гиперболой. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей, директрис и асимптот.

8.4.14. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением

,

является параболой. Найдите параметр этой параболы, координаты вершин и фокуса, составьте уравнения оси и директрисы.

8.4.15. Каждое из следующих уравнений приведите к каноническому виду. Изобразите на чертеже соответствующую кривую второго порядка относительно исходной прямоугольной системы координат:

8.4.16. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой.