Два способа представления зависимостей между величинами. Прямая пропорциональная зависимость

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

• Величина
• Характеристики величины: имя, тип, значение
• Функциональные и иные виды зависимостей
• Математические модели
• Динамические модели

Ключевые понятия

Применение математического моделирования

Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других.

Примеры зависимостей:

• время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты;
• давление газа в баллоне зависит от его температуры;
• уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.

Реализация математической модели требует владения приемами представления зависимостей между величинами.

Методы представления зависимостей

Величина – количественная характеристика исследуемого объекта

Характеристики величины

отражает смысл величины

определяет возможные значения величины

Значение

константа

переменная

Основные типы величин:

Пример константы – число Пифагора

Имя величины может быть

смысловым

смысловым

числовой

«давление газа»

В описании процесса падения тела переменными величинами являются высота H и время падения t

символьный

символическим

логический

Виды зависимостей

Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.

Пример 1: t (c) – время падения; H (m) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой.

Пример 2: P (н/м 2) – давление газа (в единицах системы СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t °C – температура газа. Давление при нуле градусов P 0 будем считать константой для данного газа.

определенной .

Виды зависимостей

Иная зависимость носит более сложный характер, одна и та же величина может принять разные значения, поскольку на нее могут оказывать влияния и другие показатели.

Пример 3: Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей – С (мг/м 3). Единица измерения – массы примесей, содержится в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будет характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города P (бол./тыс.)

Зависимость между величинами является полностью определенной .

Математические модели

Математические модели - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Математические модели отражают физические законы и представляются в виде формул:

Линейная зависимость

Корневая зависимость (время пропорционально квадратному корню высоты)

В сложных задачах математические модели представляют в виде уравнений или систем уравнений.

Табличные и графические модели

Экспериментальным путем проверим закон свободного падения тела

Эксперимент: стальной шарик сброшен с 6-метровой, 9-метровой высоты и т.д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения

Результат эксперимента представлен в таблице и графике

Н , м

t , c

Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты

Динамические модели

Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели .

В физике это движение тел, в биологии – развитие организмов или популяций животных,

в химии – протекание химических реакций.

Самое основное

• Величина – количественная характеристика исследуемого объекта.
• Характеристики величины:

Имя – отражает смысл величины

Тип – определяет возможные значения величин

Значение: постоянная величина (константа) или переменная

• Имя – отражает смысл величины Тип – определяет возможные значения величин Значение: постоянная величина (константа) или переменная

• Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.
• Существует три способа моделирования величин: функциональный (формула), табличный и графический
• Формула более универсальна; имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график.
• Описание развития систем во времени – динамическая модель.

Вопросы и задания

• Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?
• Что такое математическая модель?
• Может ли математическая модель включать в себя только константы?
• Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками какого-то объекта или процесса.
• Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.
• Представьте математическую модель зависимости давления газа от температуры в виде табличной и графической модели, если известно, что при температуре 27 °С давление газа в закрытом сосуде было 75 кПа.

• Информатика и ИКТ. Базовый уровень: учебник для 10-11 классов / И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер. – 7-е изд. – М. : Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 246. : ил.

Иллюстрации:

Источники

• http://1.bp.blogspot.com/-u7m70qcqIdw/Ukh9R4Ga-9I/AAAAAAAAEkk/wIqkfCqOgGo/s1600/%25D0%2593%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25B8%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BE.gif
• http://ehsdailyadvisor.blr.com/wpcontent/uploads/2015/11/EHSDA_110615.jpg
• http://himki.blizhe.ru/userfiles/Image/MIL-GRAFIK/dop-photo/PRIMESI.JPG
• http://f.10-bal.ru/pars_docs/refs/12/11350/11350_html_mbb50c21.jpg

Информатика и ИКТ 10-11 класс Семакин, Информатика 10-11 класс Семакин, Моделирование зависимостей между величинами, Величины и зависимости между ними, Различные методы представления зависимостей, Математические модели, Табличные и графические модели

Величины и зависимости между ними
Содержание данного раздела учебника связано с компьютерным математическим моделированием. Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других. Приведем примеры таких зависимостей:
1) время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты;
2) давление газа в баллоне зависит от его температуры;
3) уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.
Реализация математической модели на компьютере (компьютерная математическая модель) требует владения приемами представления зависимостей между величинами.
Рассмотрим различные методы представления зависимостей.
Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами.
С понятием величины вы уже встречались в базовом курсе информатики. Напомним, что со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значение, тип.
Имя величины может быть смысловым и символическим. Примером смыслового имени является «давление газа», а символическое имя для этой же величины — Р. В базах данных величинами являются поля записей. Для них, как правило, используются смысловые имена, например: ФАМИЛИЯ, ВЕС, ОЦЕНКА и т. п. В физике и других науках, использующих математический аппарат, применяются символические имена для обозначения величин. Чтобы не терялся смысл, для определенных величин используются стандартные имена. Например, время обозначают буквой t, скорость — V, силу — F и пр.
Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы — число Пифагора π = 3,14259... . Величина, значение которой может меняться, называется переменной. Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота Н и время падения t.
Третьим свойством величины является ее тип. С понятием типа величины вы также встречались, знакомясь с программированием и базами данных. Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Поскольку в данном разделе мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа.
А теперь вернемся к примерам 1-3 и обозначим (поименуем) все переменные величины, зависимости между которыми нас будут интересовать. Кроме имен укажем размерности величин. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин.
1) t (с) — время падения; Н (м) — высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой.
2) Р (н/м 2) — давление газа (в единицах системы СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t °С — температура газа. Давление при нуле градусов Ро будем считать константой для данного газа.
3) Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей (каких именно, будет сказано позже) — С (мг/м 3). Единица измерения — масса примесей, содержащихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города — Р (бол./тыс.).
Отметим важное качественное различие между зависимостями, описанными в примерах 1 и 2, с одной стороны, и в примере 3, с другой. В первом случае зависимость между величинами является полностью определенной: значение Н однозначно определяет значение t (пример 1), значение t однозначно определяет значение Р (пример 2). Но в третьем примере зависимость между значением загрязненности воздуха и уровнем заболеваемости носит существенно более сложный характер; при одном и том же уровне загрязненности в разные месяцы в одном и том же городе (или в разных городах в один и тот же месяц) уровень заболеваемости может быть разным, поскольку на него влияют и многие другие факторы. Отложим более детальное обсуждение этого примера до следующего параграфа, а пока лишь отметим, что на математическом языке зависимости в примерах 1 и 2 являются функциональными, а в примере 3 — нет.
Математические модели
Если зависимость между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель.
Математическая модель — это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Хорошо известны математические модели для первых двух примеров. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:

Это примеры зависимостей, представленных в функциональной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню высоты), вторую — линейной.
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, которая выражается системой неравенств.
В еще более сложных задачах (пример 3 — одна из них) зависимости тоже можно представить в математической форме, но не функциональной, а иной.
Табличные и графические модели
Рассмотрим примеры двух других, не формульных, способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического. Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организуем следующим образом: будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента составим таблицу и нарисуем график.

Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную выше формулу зависимости высоты от времени, то формула превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. (Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то равенство не будет достигаться, а если надувной шарик, то значения левой и правой частей формулы будут различаться очень сильно. Как вы думаете, почему?)
В этом примере мы рассмотрели три способа моделирования зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Формула более универсальна, она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 6.1. Имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график, а наоборот — весьма проблематично.
Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость давления от температуры. Оба примера связаны с известными физическими законами — законами природы. Знания физических законов позволяют производить точные расчеты, они лежат в основе современной техники.
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели. В примере 1 приведена именно такая модель. В физике динамические информационные модели описывают движение тел, в биологии — развитие организмов или популяций животных, в химии — протекание химических реакций и т. д.
Система основных понятий

Моделирование зависимостей между величинами
Величина -	количественная характеристика исследуемого объекта
Характеристики величины
		Значение
отражает смысл величины	определяет возможные значения величины	константа
Виды зависимостей:
Функциональные
Способы отображения зависимостей
Математическая	Табличная модель		Графическая
Описание развития систем во времени - динамическая модель

Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости:

1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени;

2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины;

3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества.

Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.

1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?

(Рассуждаем так:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше деталей, тем больше металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):

12:10=х:3,5

Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:

Значит, потребуется 4,2 кг металла.

Ответ: 4,2 кг.

2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани?

(1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой).

Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):

15:12=1680:х

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции:

Значит, 12 метров стоят 1344 рубля.

Ответ: 1344 рубля.

>>Информатика: Представление зависимостей между величинами

Представление зависимостей между величинами

Решение задач планирования и управления постоянно требует учета зависимостей одних факторов от других.

Примеры зависимостей :

1) время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;

2) давление зависит от температуры газа в баллоне;

Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:

Это примеры зависимостей, представленных в функции пильной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню от высоты), вторую - линейной (давление прямо пропорционально температуре).

В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений. В этом случае для извлечения функциональной зависимости величин нужно уметь решать эти уравнения. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, которая выражается системой неравенств.

Рассмотрим примеры двух других способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического.

Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организовали следующим образом; бросаем стальной шарик с балкона 2-го этажа, 3-го этажа (и так далее) десятиэтажного дома, замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента мы составили таблицу и нарисовали график.

"
Рис. 2.11. Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты

Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную выше формулу зависимости высоты от времени, то она превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. (Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то данная модель будет меньше соответствовать формуле, а если надувной шарик, то совсем не будет соответствовать - как вы думаете, почему?)

В этом примере мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Почему? Потому что формула универсальна. Она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 2.11.

Кроме того, таблица и диаграмма (график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов.

Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость давления от температуры. Оба примера связаны с известными физическими законами - законами природы. Знания физических законов позволяют производить точные расчеты, они лежит в основе современной техники.

Коротко о главном

Величина - некоторая количественная характеристика объекта.

Зависимости между величинами могут быть представлены в виде математической модели, в табличной и графической формах.

Зависимость, представленная в виде формулы, является математической моделью.

Вопросы и задания

1. а) Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?

б) Что такое математическая модель?

в) Может ли математическая модель включать в себя только константы?

2. Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками некоторой системы.

3. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.

Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Информатика и ИКТ, 11

Отослано читателями из интернет-сайтов

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Тема: «Моделирование зависимостей между величинами»

Цели урока:

1. Познакомиться с понятиями:

«величины»,

«математическая модель»,

«табличная модель»,

«графическая модель»

Развивающие:

Создать условия для развития умения выделять главное, сравнивать, анализировать, обобщать.

Воспитательные:

Воспитывать внимательность, стремление довести дело до намеченного результата;

Установление взаимных контактов и обмен опытом между учащимися и преподавателем.

Оборудование: компьютер учителя с мультимедийным проектором.

План урока

Организационный момент (2 мин) Постановка целей урока. Объяснение нового материала. (17 мин) Закрепление нового материала (5 мин) Решение заданий из демоверсии ЕГЭ 2010г (15 мин) Подведение итогов (3 мин) Задание на дом (3 мин)

Ход урока

Сообщить учащимся тему урока. (слайд 1) Постановка цели урока

(слайд 2)

Цели урока:

1. Познакомиться с понятиями:

«величины»,

« зависимости между величинами»,

«математическая модель»,

«табличная модель»,

«графическая модель»

Рассмотреть на примерах зависимости между величинами.

2. Совершенствовать навыки решения заданий из КИМов ЕГЭ.

Объяснение нового материала. (17 мин)

(слайд 3)

Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других.

1. Время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;

2. Давление газа в баллоне зависит от его температуры;

3. Частота заболеваний жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха

(слайд 4)

Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами. Со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значения, тип.

Имя величины может быть полным (давление газа), а может быть символическим (Р). Для определенных величин используются стандартные имена: время – T, скорость – V, сила – F…

(слайд 5)

Если значение величины не меняется, то она называется постоянной величиной или константой

(π =3,14159…).

Величина, меняющая свое значение, называется переменной.

(слайд 6)

Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Так как мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа.

(Слайд 7)

Вернемся к примерам и обозначим переменные величины, зависимости между которыми нас интересуют.

В примере 1:

Т (сек) – время падения; Н (м) – высота падения. Ускорения свободного падения g (м/сек2) – константа.

В примере 2: Р(н/м2) – давление газа; t° C - температура газа.

В примере 3:

Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей С(мг/куб. м). Уровень заболеваемости характеризуется числом хронических больных астмой на 1000 жителей данного города – Р(бол/тыс.)

(Слайд 8)

Рассмотрим Методы представления зависимостей

Математическая модель Табличная модель Графическая модель

(Слайд 9)

Математическая модель

Это совокупность количественных характеристик некоторого объекта(процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Для первого примера математическая модель представляется в виде формулы:

455 " style="width:341.25pt">

(Слайд 11)

Графическая модель

и нарисуем график

(Слайд 12)

Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели.

В физике динамические информационные модели описывают движение тел; в биологии – развитие организмов и популяций животных; в химии – протекание химических реакций и т. д

(слайд 13)

Решение задачи: (1 ученик у доски, остальные в тетрадях)

Построить математическую, табличную и графическую модели задачи:

Тело движется по закону x (t)=5 t2+2 t-5,

где x – перемещение в метрах, t – время в секундах. Найти скорость тела в момент времени t=2.

Построить таблицу, отражающую зависимость скорости тела от времени движения тела с интервалом в 3 секунды.

Закрепление изученного материала.

Ответьте на Вопросы:

1. Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами? (ответ 1 ученика )

2. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трёх форм представления

зависимостей. (ответ 1 ученика )

Решение заданий из демоверсии ЕГЭ 2010г (15 мин)

Повторение 10-ой, 2-ой, 8-ой и 16-ой систем счисления.

Решение задания из демоверсии ЕГЭ (1 )

1. Как представлено число 26310 в восьмеричной системе счисления?

Решение:

Как записывается число 5678 в двоичной системе счисления?

(1 ученик у доски, остальные в тетрадях )

Решение:

Как записывается число А8716 в восьмеричной системе счисления?

(1 ученик у доски, остальные в тетрадях )

Решение:

Задание А1 из демоверсии 2010г. (1 ученик у доски, остальные в тетрадях )

Дано: а=9D16, b=2378 . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству

Решение:

Подведение итогов (3 мин) Задание на дом (3 мин) §36, вопросы. Пример.

Дано: а= 3328, b= D416. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a