Прямая и плоскость называются параллельными если они. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признаки параллельности прямой и плоскости в пространстве

Начальная геометрия изучает понятия и соотношение объектов. Без четкого обоснования нельзя ориентироваться в прикладной области. Признак параллельности прямой и плоскости – первый шаг в геометрию пространства. Овладение начальными категориями позволит приблизиться к увлекательному миру точности, логики, ясности.

Вконтакте

Соотношение объектов: возможные варианты

Стереометрия – инструмент познания мира. Она рассматривает отношение объектов друг к другу, учит вычислять расстояния без линейки. Успешная практика требует овладеть основными понятиями.

Имеется поверхность а и линия l. Есть три случая соотношения объектов. Их определяют точки пересечения. Легко запомнить:

• 0 точек — параллельны;
• 1 точка — взаимно пересекаются;
• бесконечно много — прямая лежит в плоскости.

Легко описать признак параллельности объектов. На поверхности а существует линия с || l, то l || а.

Простое заявление требует доказательства. Пусть поверхность проведена через линии: l || c. В Ω а = с. Пусть l имеет с а общую точку. Она должна лежать на с. Это противоречит условию: l || c. Тогда l параллельна плоскости a. Начальное положение верно.

Важно ! В пространстве существует хотя бы одна линия || плоской поверхности. Это созвучно утверждению начальной геометрии (планиметрии).

Простая мысль: а принадлежит больше одной точки l, значит прямая l целиком принадлежит а.

a || l только в случае отсутствия единственной точки пересечения.

Это логичное определение параллельности прямой и плоскости.

Легко найти практическое применение положения. Как доказать, что одна прямая параллельна плоскости?

Достаточно использовать исследованный признак.

Что полезно знать

Для грамотного решения задач требуется изучить дополнительные расположения предметов. Основа — признак параллельности прямой и плоскости. Его применение облегчит понимание других элементов. Геометрия пространства рассматривает частные случаи.

Пересечения в стереометрии

Объекты прежние: плоская поверхность а, линии с, l. Как они соседствуют? С || l. L пересекает а. Легко понять: с обязательно пересечет а. Эта мысль — лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Поле деятельности расширяется. К исследуемым объектам добавляется поверхность в. Ей принадлежит l. В исходных объектах ничего не меняется: l || а. Опять получается просто: в случае пересечения плоскостей общая линия d || l. Сразу вытекает понятие: какие две плоскости называются пересекающимися. Те, которые имеют общую прямую.

Какие теоремы требуется изучить

Главные понятия отношения предметов приводят к описанию основных утверждений. Они требуют развернутого доказательства. Первая: теоремы о параллельности одной прямой и плоскости. Рассматриваются разные случаи.

1. Объекты: поверхности P, Q, R, прямые АB, CD. Условие: P||Q, R их пересекает. Естественно, АB||CD.

1. Предметы исследования: линии AB, CD, A1B1, C1D1. AB пересекается с CD в одной плоскости, A1B1 — с C1D1 в другой. AB||A1B1, CD||C1D1. Вывод: поверхности, включающие пересекающиеся попарно параллельные линии, ||.

Возникает новое понятие. Скрещивающиеся прямые сами не параллельны, хотя лежат в параллельных плоскостях. Это C1D1 и АВ, А1В1 и CD. Это явление широко применяется в практической стереометрии.

Естественное заявление: через одну из скрещивающихся линий реально проходит единственная параллельная указанной плоскость.

1. Дальше легко прийти к теореме о следе. Это третье из утверждений о параллельности прямой и поверхности. Есть прямая l. Она || а. l принадлежит в. В Ω а = d. Единственно возможный вариант: d || l.

Важно! Прямая и плоскость называются || при отсутствии общих объектов — точек.

Свойства параллельности и их доказательства

Легко прийти к понятию расположения плоских поверхностей:

• пустое множество общих точек (называются параллельными);
• пересекаются по прямой.

В стереометрии находят применение свойства параллельности. Любая пространственная картинка имеет поверхности и линии. Для успешного решения задач требуется изучить основные теоремы:

• Исследуемые объекты: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Вывод: l ||m. Предположение требует доказательства. Расположение l и m одно из двух: пересекаются или параллельны. Но во втором случае поверхности не имеют общих точек. Тогда l || m. Утверждение доказано. Следует запомнить: если прямая лежит в плоскости, то они имеют более одной точки пересечения.

• Имеются поверхность а, точка А не принадлежит а. Тогда существует только одна поверхность b || a, проходящая через А. Доказать положение просто. Пусть l Ω m; l, m принадлежат а. Через каждую из них и А строится плоскость. Она пересекает а. В ней существует линия, проходящая через А и || а. В точке А они являются пересекающимися. Они образуют единственную поверхность b || a.

• Существуют скрещивающиеся прямые l и m. Тогда имеются || поверхности а и b, которым принадлежат l и m. Логично поступить так: на l и m выбрать произвольные точки. Провести m1 || m, l1 || l. Пересекающиеся линия попарно || => a || b. Положение доказано.

Знание свойств параллельности одной прямой и плоскости позволит умело применять их на практике. Простые и логичные доказательства помогут ориентироваться в увлекательном мире стереометрии.

Плоскости: оценка параллельности

Описать понятие просто. Вопрос: что значит, одна прямая и плоскость параллельны, решен. Исследование начальных категорий геометрии пространства привело к более сложному утверждению.

При решении прикладных задач применяется признак параллельности. Простое описание: пусть l Ω m, l1 Ω m1, l, m принадлежат а, l1, m1 – b. При этом l || l1, m || m1. Тогда a || b.

Без применения математических символов: плоскости называются параллельными, если проведены через пересекающиеся попарно параллельные прямые.

Стереометрия рассматривает свойства параллельных плоскостей . Их описывают теоремы:

Исследуемые объекты: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Тогда l || m. Очевидно доказательство. и Прямые лежат в одной плоскости, если они || или пересекаются. Следует применить утверждение о параллельности прямой и поверхности. Тогда становится очевидно: пересекаться l и m не могут. Остается единственное – l || m.

Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости.Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Прямая и плоскость называются параллельными , если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Параллельность обозначается « ∥ ». Если в задании по условию прямая a и плоскость α параллельны, тогда обозначение имеет вид a ∥ α . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Считается, что прямая a , параллельная плоскости α и плоскость α , параллельная прямой a , равнозначные, то есть прямая и плоскость параллельны друг другу в любом случае.

Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности

Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости.Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.

Теорема 1

Если заданная прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна прямой b , которая принадлежит плоскости α , тогда прямая a параллельна плоскости α .

Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.

Подробное доказательство рассмотрено в учебнике 10 - 11 класса по геометрии. Необходимым и достаточным условием параллельности прямой с плоскостью возможно при наличии определения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Теорема 3

Для параллельности прямой a , не принадлежащей плоскости α , и данной плоскости необходимым и достаточным условием является перпендикулярность направляющего вектора прямой с нормальным вектором заданной плоскости.

Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.

Доказательство

Допустим, прямая а в систему координат О х у задается каноническими уравнениями прямой в пространстве, которые имеют вид x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z или параметрическими уравнениями прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , плоскостью α с общими уравнениями плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Отсюда a → = (a x , a y , a z) является направляющим вектором с координатами прямой а, n → = (A , B , C) - нормальным вектором заданной плоскости альфа.

Чтобы доказать перпендикулярность n → = (A , B , C) и a → = (a x , a y , a z) , нужно использовать понятие скалярного произведения. То есть при произведении a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C результат должен быть равен нулю из условия перпендикулярности векторов.

Значит, что необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости запишется так a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Отсюда a → = (a x , a y , a z) является направляющим вектором прямой a с координатами, а n → = (A , B , C) - нормальным вектором плоскости α .

Пример 1

Определить, параллельны ли прямая x = 1 + 2 · λ y = - 2 + 3 · λ z = 2 - 4 · λ с плоскостью x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .

Решение

Получаем, что предоставленная прямая не принадлежит плоскости, так как координаты прямой M (1 , - 2 , 2) не подходят. При подстановке получаем, что 1 + 6 · (- 2) + 5 · 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .

Необходимо проверить на выполнимость необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости. Получим, что координаты направляющего вектора прямой x = 1 + 2 · λ y = - 2 + 3 · λ z = 2 - 4 · λ имеют значения a → = (2 , 3 , - 4) .

Нормальным вектором для плоскости x + 6 y + 5 z + 4 = 0 считается n → = (1 , 6 , 5) . Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и n → . Получим, что a → , n → = 2 · 1 + 3 · 6 + (- 4) · 5 = 0 .

Значит, перпендикулярность векторов a → и n → очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.

Ответ: прямая с плоскостью параллельны.

Пример 2

Определить параллельность прямой А В в координатной плоскости О у z , когда даны координаты A (2 , 3 , 0) , B (4 , - 1 , - 7) .

Решение

По условию видно, что точка A (2 , 3 , 0) не лежит на оси О х, так как значение x не равно 0 .

Для плоскости O x z вектор с координатами i → = (1 , 0 , 0) считается нормальным вектором данной плоскости. Обозначим направляющий вектор прямой A B как A B → . Теперь при помощи координат начала и конца рассчитаем координаты вектора A B . Получим, что A B → = (2 , - 4 , - 7) . Необходимо выполнить проверку на выполнимость необходимого и достаточного условия векторов A B → = (2 , - 4 , - 7) и i → = (1 , 0 , 0) , чтобы определить их перпендикулярность.

Запишем A B → , i → = 2 · 1 + (- 4) · 0 + (- 7) · 0 = 2 ≠ 0 .

Отсюда следует, что прямая А В с координатной плоскостью О y z не являются параллельными.

Ответ: не параллельны.

Не всегда заданное условие способствует легкому определению доказательства параллельности прямой и плоскости. Появляется необходимость в проверке принадлежности прямой a плоскости α . Существует еще одно достаточное условие, при помощи которого доказывается параллельность.

При заданной прямой a с помощью уравнения двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , плоскостью α - общим уравнением плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Теорема 4

Необходимым и достаточным условием для параллельности прямой a и плоскости α яляется отсутствие решений системы линейных уравнений, имеющей вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .

Доказательство

Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат О х у z не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а также уравнению плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Следовательно, система уравнений, имеющая вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , называется несовместной.

Верно обратное: при отсутствии решений системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не существует точек в О х у z , удовлетворяющих всем заданным уравнениям одновременно. Получаем, что нет такой точки с координатами, которая могла бы сразу быть решениями всех уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Значит, имеем параллельность прямой и плоскости, так как отсутствуют их точки пересечения.

Система уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.

Пример 3

Доказать, что прямая x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 параллельна плоскости 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .

Решение

Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:

x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 · x = - 1 · (y + 2) 3 · x = - 1 · z 3 · (y + 2) = - 1 · z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0

Чтобы доказать параллельность заданной прямой x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 с плоскостью 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 , необходимо уравнения преобразовать в систему уравнений x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .

Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.

Расписав уравнения, получаем, что 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .

Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Делаем вывод, что прямая x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 и плоскость 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 параллельны, так как было выполнено необходимое и достаточное условие для параллельности плоскости с заданной прямой.

Ответ: прямая и плоскость параллельны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве :

Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости .

Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.

Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку

Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек . (они не пересекаются

Утверждение 1 . Предположим, что прямая a и плоскость α параллельны, а плоскость β проходит через прямую a . Тогда возможны два случая:

Но тогда точка P оказывается точкой пересечения прямой a и плоскости α , и мы получаем противоречие с тем, что прямая a и плоскость α параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.

Утверждение 2 (признак параллельности прямой и плоскости) . Если прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна некоторой прямой b , лежащей в плоскости α , то прямая a и плоскость α параллельны.

Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости "от противного". Предположим, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке P . Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b .

Точка P лежит на прямой a и принадлежит плоскости β. Но по предположению точка P принадлежит и плоскости α , следовательно точка P лежит на прямой b , по которой пересекаются плоскости α и β . Однако прямые a и b параллельны по условию и не могут иметь общих точек.

Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.

Теоремы

• Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
• Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
• Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
• Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
• Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
• Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
• Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой

1.Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2.Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости. плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости: а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

2.Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника.

Натуральная величина (н.в.) отрезка АВ прямой общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника АВК. В этом треугольнике катет АК параллелен плоскости проекций π1 и равен горизонтальной проекции отрезка A"B". Катет BK равен разности расстояний точек A и B от плоскости π1.

В общем случае для определения натуральной величины отрезка прямой необходимо построить гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого является горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим катетом - отрезок, равный по величине алгебраической разности координат Z (Y) крайних точек отрезка.

Из прямоугольного треугольника находят угол α - угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций.

Для определения угла наклона прямой к фронтальной плоскости проекций необходимо выполнить аналогичные построения на фронтальной проекции отрезка.

3.Главные линии плоскости (горизонталь, фронталь).

Горизонталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости. Горизонталь как прямая, параллельная горизонтальной плоскости, имеет фронтальную проекцию ѓ, параллельную оси х.

Фронталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости.

Фронталь является прямой, параллельной фронтальной плоскости, и ее горизонтальная проекцияф параллельна оси х.

4.Взаимное положение прямых в пространстве. Определение видимости по конкурирующим точкам. Две прямые в пространстве могут иметь различное расположение: А)пересекаться (лежать в одной плоскости). Частный случай пересечения – под прямым углом;Б)могут быть параллельными (лежать в одной плоскости);В)совпадать – частный случай параллельности;Г)скрещиваться (лежать в разных плоскостях и не пересекаться).

Точки, у которых проекции на П1 совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П1, а точки, у которых проекции на П2 совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П2.

Точки К и L конкурирующие по отношению к плоскости П1, так как на плоскости П1 точки К и L проецируются в одну точку: К1 = L1.

Точка К выше точки L, т.к. К2 выше точки L2, потому К1 на П1 видима.

1.Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак скрещивающихся прямых. 2/Докажите, что если две

прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. 3.Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки A, C и M, где M – середина ребра AlDl.

Какая из фигур не является основной фигурой в пространстве? 1) точка; 2) отрезок; 3) прямая; 4) плоскость.

2. Прямые a и b скрещивающиеся. Как расположена прямая b относительно плоскости α, если прямая а ϵ α?

1) пересекает; 2) параллельна; 3) лежит в плоскости; 4) скрещивается.

3. Определите, какое утверждение верно:

1) Перпендикуляр длиннее наклонной.

2) Если две наклонные не равны, то большая наклонная имеет меньшую проекцию.

3) Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника.

4) Угол между параллельными прямой и плоскостью равен 90º.

4. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой, длина которого 17 см, расположен между ними так, что его концы принадлежат плоскостям. Найдите проекцию этого отрезка на каждую из плоскостей.

1) 15 см; 2) 9 см; 3) 25 см) 4) 12 см.

5. К плоскости МКРТ проведен перпендикуляр ТЕ, равный 6 дм. Вычислить расстояние от точки Е до вершины ромба К, если МК = 8 дм, угол М ромба равен 60º.

1) 10 дм; 2) 14 дм; 3) 8 дм; 4) 12 дм.

6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой вершины треугольника на расстоянии 10 см. Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника.

1) 4 см; 2) 16 см; 3) 8 см; 4) 10 см.

7. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 60º. Найдите проекцию наклонной на данную плоскость, если перпендикуляр равен 5 см.

1) 5√3 см; 2) 10 см; 3) 5 см; 4) 10√3 см.

8. Найти боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 2 см, а все двугранные углы при основании равны 30º.

1) 2 см2; 2) 2√3 см2; 3) √3 см2; 4) 3√2 см2.

9. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям, равным 3 см, 4 см, 5 см.

1) 94 см2; 2) 47 см2; 3) 20 см2; 4) 54 см2.

плоскости.

б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость.

в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются

г) если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскости

д) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек

плоскости;б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость;в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются;г)если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскостид) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек.
2. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая b параллельна прямой а, тогда: